Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e "prodotti scalari" non simmetrici...
Salve, ho bisogno del vostro aiuto 
In un conticino che sto facendo, mi è venuta fuori una matrice non simmetrica Q. Ho definito il "prodotto scalare" $(\ ,\ )$ dato da $(x,y)= \langle Q x,y \rangle$ dove $\langle\ ,\ \rangle$ è il prodotto scalare in $\mathbb{R}^n$.
Il nuovo "prodotto scalare" è definito positivo, ma non simmetrico... Per arrivare a risolvere la mia congettura, mi basterebbe dimostrare che $( , )$ soddisfa la proprietà di C.S.
\[ (x,x)(y,y)\leq (x,y), \forall x,y , \]
e l'uguaglianza vale se e solo se x e y sono linearmente dipendenti (anzi, mi basterebbe che valesse l'ultima affermazione).
Ora, la dimostrazione della disuguaglianza di C.S. necessita della simmetria del prodotto scalare... Secondo voi, può avere senso provare a dimostrarla in questo caso ??
Se vi dicessi che l'esercizio che sto vedendo viene fuori da un problema sub-riemanniano ?? Vi siete mai imbattuti in queste cose?
In un conticino che sto facendo, mi è venuta fuori una matrice non simmetrica Q. Ho definito il "prodotto scalare" $(\ ,\ )$ dato da $(x,y)= \langle Q x,y \rangle$ dove $\langle\ ,\ \rangle$ è il prodotto scalare in $\mathbb{R}^n$.
Il nuovo "prodotto scalare" è definito positivo, ma non simmetrico... Per arrivare a risolvere la mia congettura, mi basterebbe dimostrare che $( , )$ soddisfa la proprietà di C.S.
\[ (x,x)(y,y)\leq (x,y), \forall x,y , \]
e l'uguaglianza vale se e solo se x e y sono linearmente dipendenti (anzi, mi basterebbe che valesse l'ultima affermazione).
Ora, la dimostrazione della disuguaglianza di C.S. necessita della simmetria del prodotto scalare... Secondo voi, può avere senso provare a dimostrarla in questo caso ??
Se vi dicessi che l'esercizio che sto vedendo viene fuori da un problema sub-riemanniano ?? Vi siete mai imbattuti in queste cose?
Risposte
Santo cielo, che roba 
Una domanda: ma quando dici che è "definito positivo" vuol dire che la matrice $Q$ ha tutti gli autovalori reali e positivi, dico bene? Ma non è che di questa $Q$ si sa qualcosa in più?
Ad ogni modo, se ben intendo, in sostanza quello che ti interessa è che
\[
\langle Qx, x \rangle \langle Qy, y \rangle = \langle Qx, y \rangle
\]
se e solo se $x,y$ sono l.d. Giusto? A me però questa cosa sembra un po' strana: tanto per cominciare implicherebbe tout court la simmetria della forma ristretta a ogni set di vettori l.d. ... Infatti, supponi che valga la tua tesi; allora avresti per $x,y$ l.d.
\[
\langle Qy, x \rangle = \langle Qx, x \rangle \langle Qy, y \rangle = \langle Qx, y \rangle
\]
cioè
\[
(y,x)=(x,y)
\]
Quindi, ad esempio, la tua forma su ogni sottospazio lineare unidimensionale $(x)$ è simmetrica (è un prodotto scalare!).
Ho frainteso qualcosa? Ho detto qualche cavolata? Spero possa servirti a qualcosa.
Una domanda: ma quando dici che è "definito positivo" vuol dire che la matrice $Q$ ha tutti gli autovalori reali e positivi, dico bene? Ma non è che di questa $Q$ si sa qualcosa in più?
Ad ogni modo, se ben intendo, in sostanza quello che ti interessa è che
\[
\langle Qx, x \rangle \langle Qy, y \rangle = \langle Qx, y \rangle
\]
se e solo se $x,y$ sono l.d. Giusto? A me però questa cosa sembra un po' strana: tanto per cominciare implicherebbe tout court la simmetria della forma ristretta a ogni set di vettori l.d. ... Infatti, supponi che valga la tua tesi; allora avresti per $x,y$ l.d.
\[
\langle Qy, x \rangle = \langle Qx, x \rangle \langle Qy, y \rangle = \langle Qx, y \rangle
\]
cioè
\[
(y,x)=(x,y)
\]
Quindi, ad esempio, la tua forma su ogni sottospazio lineare unidimensionale $(x)$ è simmetrica (è un prodotto scalare!).
Ho frainteso qualcosa? Ho detto qualche cavolata? Spero possa servirti a qualcosa.
La matrice Q è tale che $(x,x) \geq 0$ e $(x,x)= 0$ se e solo se $x=0$ (e lavoriamo sul campo reale!).
Hai compreso abbastanza bene quello che mi chiedevo... Però, effettivamente, come hai notato anche tu in linea generale non ha molto senso!
In realtà forse mi salvo in corner, perchè per i miei scopi mi basta giustificare la proprietà che hai riportato anche tu non per ogni vettore, ma solo per due vettori $x$ ed $y$ per cui ho appena scoperto che vale $(x,y)=(y,x)$!
Mi rimane il dubbio di capire se questo "prodotto scalare" ha delle connessioni con le "metriche" in geometria sub-riemaniana e quanti risultati si possano recuperare della teoria euclidea in tal caso... Ok, magari sto dicendo cavolate perchè è un argomento che devo cominciare ancora a studiare... Ero partita da un semplice esempio!
Hai compreso abbastanza bene quello che mi chiedevo... Però, effettivamente, come hai notato anche tu in linea generale non ha molto senso!
In realtà forse mi salvo in corner, perchè per i miei scopi mi basta giustificare la proprietà che hai riportato anche tu non per ogni vettore, ma solo per due vettori $x$ ed $y$ per cui ho appena scoperto che vale $(x,y)=(y,x)$!
Mi rimane il dubbio di capire se questo "prodotto scalare" ha delle connessioni con le "metriche" in geometria sub-riemaniana e quanti risultati si possano recuperare della teoria euclidea in tal caso... Ok, magari sto dicendo cavolate perchè è un argomento che devo cominciare ancora a studiare... Ero partita da un semplice esempio!
"lucillina":
In un conticino che sto facendo, mi è venuta fuori una matrice non simmetrica Q. Ho definito il "prodotto scalare" $(\ ,\ )$ dato da $(x,y)= \langle Q x,y \rangle$ dove $\langle\ ,\ \rangle$ è il prodotto scalare in $\mathbb{R}^n$.
Il nuovo "prodotto scalare" è definito positivo, ma non simmetrico...
Ah, quindi hai costruito un prodotto scalare che non è un prodotto scalare.
"lucillina":
Per arrivare a risolvere la mia congettura, mi basterebbe dimostrare che $( , )$ soddisfa la proprietà di C.S.
\[ (x,x)(y,y)\leq (x,y), \forall x,y , \]
e l'uguaglianza vale se e solo se x e y sono linearmente dipendenti (anzi, mi basterebbe che valesse l'ultima affermazione).
La Cauchy-Schwarz ha la disuguaglianza in senso inverso (ed un quadrato al primo membro).
Errore di battitura o ti serve proprio la disuguaglianza col \(\leq\)?
"lucillina":
Ora, la dimostrazione della disuguaglianza di C.S. necessita della simmetria del prodotto scalare... Secondo voi, può avere senso provare a dimostrarla in questo caso ??
Dipende da cosa ci devi fare.
"lucillina":
Se vi dicessi che l'esercizio che sto vedendo viene fuori da un problema sub-riemanniano ?? Vi siete mai imbattuti in queste cose?
Mai.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo