Vero o falso con spiegazione
Ciao a tutti, ho dei problemi a capire come rispondere a questi veri o falso, (ne ho molti in realtà ma questi 3 non so proprio se sono veri o meno), ovviamente cercherò di postare anche il mio ragionamento ma non so se può andare bene:
a) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n su un campo K e siano $A_{1},A_{2},A_{3}$ sottospazi di V tali che:
- $dim A_{1}+dim A_{2}+dim A_{3}= n$
- $A_{1}nn A_{2}= A_{1}nn A_{3}=A_{2}nn A_{3}={0}$
Allora $V=A_{1}+A_{2}+A_{3}$
b) Sia f:V--->W un'applicazione lineare tra spazi vettoriali su un campo K. Se A,B $sube $V sono sottospazi allora $f(A+B)=f(A)+f(B)$
c) Sia f:V--->W un'applicazione lineare tra spazi vettoriali su un campo K. Se A,B $sube $V sono sottospazi tali che $AnnB={0}$ allora $f(Ao+B)=f(A)o+f(B)$
Allora per ciò che mi riguarda sono Falso-Falso-Vero
a)Sia V uno spazio di dimensione 3, siano $A_{1}=Span {v_{1}} dim=1,A_{2}=Span {v_{2}} dim=1,A_{3}=Span {v_{1}+v_{2}} dim=1$ ,la prima e la seconda ipotesi sono verificate ma V=$A_{1}+A_{2}$ perchè l'elemento di $A_{3}$ è combinazione lineare di elementi di $A_{1} e A_{2}$
b) stesso ragionamento perchè se A e B non sono in somma diretta allora possono avere intersezione diversa da zero e la f applicata al sottospazio A+B che ha dimensione diversa da dimA+dimB mi da un risultato diverso
c) ragionamento inverso di b) perchè i sottospazi sono in somma diretta e hanno intersezione nulla
Secondo voi????
a) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n su un campo K e siano $A_{1},A_{2},A_{3}$ sottospazi di V tali che:
- $dim A_{1}+dim A_{2}+dim A_{3}= n$
- $A_{1}nn A_{2}= A_{1}nn A_{3}=A_{2}nn A_{3}={0}$
Allora $V=A_{1}+A_{2}+A_{3}$
b) Sia f:V--->W un'applicazione lineare tra spazi vettoriali su un campo K. Se A,B $sube $V sono sottospazi allora $f(A+B)=f(A)+f(B)$
c) Sia f:V--->W un'applicazione lineare tra spazi vettoriali su un campo K. Se A,B $sube $V sono sottospazi tali che $AnnB={0}$ allora $f(Ao+B)=f(A)o+f(B)$
Allora per ciò che mi riguarda sono Falso-Falso-Vero
a)Sia V uno spazio di dimensione 3, siano $A_{1}=Span {v_{1}} dim=1,A_{2}=Span {v_{2}} dim=1,A_{3}=Span {v_{1}+v_{2}} dim=1$ ,la prima e la seconda ipotesi sono verificate ma V=$A_{1}+A_{2}$ perchè l'elemento di $A_{3}$ è combinazione lineare di elementi di $A_{1} e A_{2}$
b) stesso ragionamento perchè se A e B non sono in somma diretta allora possono avere intersezione diversa da zero e la f applicata al sottospazio A+B che ha dimensione diversa da dimA+dimB mi da un risultato diverso
c) ragionamento inverso di b) perchè i sottospazi sono in somma diretta e hanno intersezione nulla
Secondo voi????
Risposte
Per quel che riguarda (a), hai preso la risposta giusta, ma hai ragionato male alla fine.
Infatti nota che \(A_1+A_2=\operatorname{span} \{v_1,v_2\} =\operatorname{span} \{v_1,v_2,v_1+v_2\} = A_1+A_2+A_3\) e perciò \(\dim (A_1+A_2+A_3)=\dim (A_1+A_2) \leq 2 < 3 = \dim V\) sicché \(V\neq A_1+A_2=A_1+A_2+A_3\).
Per quel che riguarda (b), l'inclusione \(f(A+B)\subseteq f(A)+f(B)\) è ovvia, quindi ti basta ragionare sull'inclusione inversa, i.e. \(f(A+B)\supseteq f(A)+f(B)\).
Se \(w\in f(A)+f(B)\) allora \(w=w^\prime +w^{\prime \prime}\) con \(w^\prime\in f(A)\) e \(w^{\prime \prime}\in f(B)\); ciò importa che esistono \(v^\prime\in A\) e \(v^{\prime \prime}\in B\) tali che \(w=f(v^\prime)+f(v^{\prime \prime}) =f(v^\prime + v^{\prime \prime})\) quindi \(w\in f(A+B)\).
Quindi \(f(A+B)=f(A)+f(B)\) sempre.
D'altra parte, per (c), dato che per (b) hai \(f(A+B)=f(A)+f(B)\) ti rimane solo da stabilire se risulta \(A\cap B=\{o_V\}\ \Rightarrow\ f(A)\cap f(B)=\{o_W\}\)... E qui ci devi ensare un po'.
Infatti nota che \(A_1+A_2=\operatorname{span} \{v_1,v_2\} =\operatorname{span} \{v_1,v_2,v_1+v_2\} = A_1+A_2+A_3\) e perciò \(\dim (A_1+A_2+A_3)=\dim (A_1+A_2) \leq 2 < 3 = \dim V\) sicché \(V\neq A_1+A_2=A_1+A_2+A_3\).
Per quel che riguarda (b), l'inclusione \(f(A+B)\subseteq f(A)+f(B)\) è ovvia, quindi ti basta ragionare sull'inclusione inversa, i.e. \(f(A+B)\supseteq f(A)+f(B)\).
Se \(w\in f(A)+f(B)\) allora \(w=w^\prime +w^{\prime \prime}\) con \(w^\prime\in f(A)\) e \(w^{\prime \prime}\in f(B)\); ciò importa che esistono \(v^\prime\in A\) e \(v^{\prime \prime}\in B\) tali che \(w=f(v^\prime)+f(v^{\prime \prime}) =f(v^\prime + v^{\prime \prime})\) quindi \(w\in f(A+B)\).
Quindi \(f(A+B)=f(A)+f(B)\) sempre.
D'altra parte, per (c), dato che per (b) hai \(f(A+B)=f(A)+f(B)\) ti rimane solo da stabilire se risulta \(A\cap B=\{o_V\}\ \Rightarrow\ f(A)\cap f(B)=\{o_W\}\)... E qui ci devi ensare un po'.
grazieeeeee,ho capito bene le tue indicazioni,
sull'ultimo punto ci ragionooooo
)))
grazieeeeeeeee
sull'ultimo punto ci ragionooooo
)))grazieeeeeeeee
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