Insieme di generatori

[Mr.Mazzarr]

Salve, non mi è chiaro il concetto di insieme di generatori.
Sapreste fornire un esempio concreto affinché io possa capire? Ho cercato gli esempi sul web ma niente da fare!

[Demostene92]

Ad esempio in $RR^3$ la terna $\bbe_1, \bbe_2, \bbe_3$ genera $RR^3$: tutti i vettori sono infatti esprimibili come combinazione lineare di questi tre versori. Nello specifico essi rappresentano anche una base, in quanto sono linearmente indipendenti, infatti presa una combinazione lineare:

$\sum_{j=1}^3c_j\bbe_j=0$ solo se $c_1=c_2=c_3=0$.

[Camillo]

In $RR^2$ la coppia $e_1,e_2 $ genera $RR^2$ ed è anche una base.
Invece i vettori $e_1,e_2, (1,1) $ generano ancora $RR^2$ ma non ne sono una base . OK ?

[garnak.olegovitc1]

Salve Mr.Mazzarr,

"Mr.Mazzarr":Salve, non mi è chiaro il concetto di insieme di generatori.
Sapreste fornire un esempio concreto affinché io possa capire? Ho cercato gli esempi sul web ma niente da fare!

Def.: siano dati \( E \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_E \) e \( \cdot_E \), \( F \) un sottospazio vettoriale di \( E \), ed \( \{v_1,v_2,...,v_p\} \subseteq E \), dicesi che \( \{v_1,v_2,...,v_p\} \) è insieme generatore di \( F \) (o: \( F \) è generato da \( \{v_1,v_2,...,v_p\} \) ) se \( F = \mathscr{L} (v_1,v_2,...,v_p) \)

Cordiali saluti

P.S.=Ove \( \mathscr{L} (v_1,v_2,...,v_p) \) è http://en.wikipedia.org/wiki/Spanning_set

[Mr.Mazzarr]

Tutto chiaro, grazie ragazzi.