Sottospazi e base ortonormale

[Niks891]

ho dei dubbi sulla risoluzione dell'esercizio e vorrei sapere il vostro parere: ho due sottospazi di RR 4
H = { (x,y,z,t,) $ in $ $ RR4 $ | 2x - y + z = x - t = 0 }
K = { (x,y,z,t,) $ in $ $ RR4 $ | x + y = x + z - t = 0 }
a) determinare dimensione e base per H e K.
risolvo $\{(2x - y + z = 0),(x - t = 0):}$ ---> $\{( y = 2t+z),(x = t ):}$ quindi (t,2t+z,z,t) [t (1,2,0,1) + z (0.1.1.0)] per t=1 e z= 1 questa è una base di H ... H ha dimensione 2, va bene il procedimento o ho le idee piuttosto confuse?!?! grazie

Ps: l'ultimo punto dell'esercizio chiede di trovare una base ortonormale per H, so che per procedere bisogna prima trovarne una ortogonale ma vorrei ulteriori delucidazioni...

io ho posto il prodotto scalare di due vettori generici uguale a 1 e ho trovato questa base ortonormale Ht (1,2,0,1) , Hz (0,-1,-1,0) è giusto?!?!?!

[Camillo]

Si usa il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt che prevede di trovare prima una base ortogonale e poi di normalizzare la base dividendo ognuno dei 2 vettori per la propria norma ottenenedo così dei versori.

Il primo vettore della base trovata lo tengo uguale e scrivo $v_1 =( 1,2,0,1)$.
Definisco ora una combinazione lineare dei 2 vettori della base : $(1,2,0,1) +alpha ( 0,1,1,0) =( 1,2+alpha,alpha,1 ) $ e determino $alpha$ in modo che questo ultimo vettore sia ortogonale al primo .
Impongo l'ortogonalità cioè : $1+4+2alpha+1=0 $ da cui ottengo $alpha = -3 $ che sostituisco nella combinazione lineare ottenendo $v_2=( 1,-1,-3,1) $.
I due vettori ortogonali sono quindi :
$v_1=( 1,2,0,1) $
$v_2=( 1,-1,-3,1)$ e sono ancora una base di H.

Li rendo versori dividendo ciascuno per la sua norma :
$||v_1|| = sqrt(6)$
$||v_2||= 2sqrt(3)$.
e allora una base ortonormale è data da

$v_1' =1/(sqrt(6)) (1,2,0,1)$

$v_2 ' =1/(2sqrt(3)) ( 1,-1,-3,1)$.