Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve ragazzi, ho questa domanda:
Dati due vettori u e v dipendenti in V
Data un'applicazione lineare f da V in W
f(u) e f(v) sono ancora dipendenti?
La mia risposta é:
Si perché dato che i vettori sono dipendenti posso porre u= kv
Dato che f é lineare vale la proprietà f(kv)=f(u)=kf(v) quindi f(u) e f(v) sono ancora esprimibili una in funzione dell'altra, quindi dipendenti.
Che ne pensate?
Ciao ragazzi!
Vorrei sapere se ho eseguito correttamente il seguente esercizio:
Sia $A \in L(X)$, $X$ spazio Euclideo. DIre se è vero che, con $x \in X$, la funzione $<Ax, Ax>$ è convessa quasiasi sia $A \in L(X)$.
A mio parere non è vero, bensì la funzione è convessa solo se $A^TA > 0$ ed arrivo a questa conclusione calcolando l'Hessiano della funzione, poiché essa è due volte derivabile, e ponendo la condizione che sia $> 0$.
Cosa ne ...
Salve, mi trovo in difficoltà con un problema che mi chiede di verificare la diagonalizzabilità al variare di un parametro reale. Ho la matrice:
$((1,-1),(1,k))$
da cui ottengo il polinomio caratteristico calcolando il determinante di $ ((1-t,-1),(1,k-t)) $
che dovrebbe essere
$ t^2 -kt -t +k +1 $
Ora, non capisco come impostare la condizione affinché il polinomio caratteristico risulti scomponibile, è la prima volta che affronto esercizi di questo tipo e il ragionamento che ci sta sotto mi è poco ...
Ciao a tutti,
mi sono imbattuta nel seguente esercizio di topologia:
Sia \(I=[0,1]\) intervallo chiuso della retta euclidea \((\mathbb{R},\tau_{e})\), sia \(f:I\cup \{2\} \rightarrow I\) l'applicazione così definita: \(f(x)=\frac{x}{2}, \forall x\in I\cup \{2\}\). Dotati \(I\cup \{2\}\) e \(I\) di topologia euclidea indotta, verificare se \(f\) è continua.
Il libro dice che \(f\) risulta continua perché restrizione dell'applicazione \(F:(\mathbb{R},\tau_{e})\rightarrow(\mathbb{R},\tau_{e})\) ...
Ciao a tutti, ho trovato uno scritto di algebra lineare con questo esercizio che non so risolvere.
Grazie in anticipo a chi mi darà una mano.
Determinare, se esiste, un endomorfismo f in R3 che verifica le seguenti condizioni:
1) f(1,0,1)=(-1,-3,-2)
2) V=[(x,y,z): x-y+2z=0] è autospazio relativo all'autovalore 2
Il problema è che non riesco a capire come utilizzare il secondo punto: fin'ora ho utilizzato le condizioni dell'autospazio per generare i vettori linearmente indipendenti che lo ...
Salve, in una serie di matematica mi è dato il seguente esercizio:
Data la forma bilineare
$ b : R^2 rarr R^2 $
$ b (v,w) = 2v_1w_1 - 3v_1w_2 + 4v_2w_2 $
Mi è chiesto di trovare le matrici associate a b nella base canonica ($ e_1, e_2 $) e nella base ($ v_1 = (1,0) , v_2 = (1,1) $).
Io ho usato la formula: $ b(v,w)=v\cdot M\cdot w $
Per la base canonica trovo la matrice $ ( ( 2 , -3 ),( 0 , 4 ) ) $
Sono in dubbio su come procedere per trovare invece la matrice associata a b nella base $ v_1, v_2 $, siccome ritrovo la matrice ...
Buongiorno a tutti,
Sono nuovo della comunità quindi abbiate pazienza se sbaglio a postare qualcosa.
Vorrei capire come si svolge il seguente esercizio lasciatomi dal mio professore di Algebra lineare. Sarei molto grato a chi provasse a spiegarmelo. Ringrazio anticipatamente tutti.
Siano $V_3$ lo spazio vettoriale dei vettori ordinari dello spazio ed $finEnd(V_3)$ definito da $f(v)=hv-2vxx(j+k)$ dove $v,j,kinV_3$ e $hinRR$ parametro.
Trovare i valori di ...
Salve,
il mio testo, in un esercizio, indica con W il sottospazio vettoriale di $R^(4)$ di equazione $x+y+2z=0$ e chiede di indicarne dimensione e una possibile base.
Essendo $x+y+2z=0$ una curva di livello di $f(x,y,x)=x+y+2z$, quindi sottoinsieme di $R^(3)$, immagino il sottospazio suddetto possa avere dimensione 3.
Però non saprei proprio, sempre se questa "intuizione" è corretta, in base a che principio avrei potuto capire la dimensione di W nè tantomeno ...
Salve a tutti! Ho un problema..
Prendiamo una matrice A generica, e la moltiplichiamo per la sua trasposta, o anche il contrario (cioè la trasposta di A moltiplicata per A). Vorrei dimostrare che questo prodotto è una matrice semidefinita positiva.
A non è richiesto che sia una matrice quadrata. Può essere anche rettangolare. Infatti poi il prodotto è una matrice quadrata.
Non riesco a dimostrarlo, però mi risulta che deve essere così... Mettendo inoltre valori a caso ai coefficienti di A con ...
Ciao a tutti,
ho qualche dubbio sulla definizione di orientazione di una varietà che nasce da un esercizio, spero che qualcuno possa confermare quello che sto per scrivere
Se io ho una varietà, ho anche la sua struttura differenziabile, cioè una classe di equivalenza di atlanti (due atlanti sono nella stessa classe se la loro unione è ancora un atlante). Ora, un atlante della classe si dice orientato se tutte le sue funzioni di transizione preservano l'orientazione (ovvero per ogni punto lo ...
Buongiorno a tutti! Sono nuova qui! Sono una studentessa del primo anno di matematica e avevo bisogno di un aiuto riguardo al calcolo delle polari! Non riesco a capire il procedimento che viene utilizzato. Mi spiego meglio. Se abbiamo ad esempio : x^2+y-2x-y^2+1=0 sapendo che i punti impropri sono A(1,1,0) e B (1,-1,0) come si calcoleranno i due asintoti? Grazie per chi risponderà
Salve a tutti!
Avrei un problema con questo esercizio.. potete aiutarmi a sciogliere i miei dubbi?
Date le tre rette:
$r: \{(x - y = 0),(2x - z + 5=0):}$
s: $\{(x-y-6=0),(x-2y+z-6=0):}$
t: $\{(3x - 2z +2=0),(3y+z-4=0):}$
trovare la retta l incidente ad r ed s e parallela a t.
Dunque, ho provato a risolvere l'esercizio in questo modo..
Le rette per essere incidenti, sono complanari.. quindi mi calcolo il vettore direttore di l in questo modo..
$v_l = ((i,j,k),(1,1,2),(-1,-1,-1))$
risolvo e ottengo che ...
Buonasera,
Ho un esercizio d'esame di algebra lineare al quale non so dare una soluzione, il testo è questo,
Si determini l'equazione cartesiana della conica $ \gamma $ avente centro in $ C(-1,0) $ tangente in $ T(-1,2) $ alla retta $r: y=-x+1 $ e passante per il punto $ Q(3,2)$.
Provando una risoluzione, tentavo di costruire il fascio di coniche con le condizioni date dal problema, si tratterebbe quindi di un fascio di coniche tangenti in $T$ a ...
Salve, ho un problema riguardo alle coniche in coordinate omogenee.
Ho la conica $\gamma : (1+\lambda)x^2 +2xy+y^2+2\lambdax-1+\lambda=0$ si tratta di un iperbole per $\lambda<0$.
L'esercizio mi chiede di trovare gli asintoti della conica. Per quanto riguarda la teoria so che calcolando le polari dei due punti impropri trovo l'equazione degli asintoti.
Il problema che non so risolvere sta nel trovare i due punti impropri data una conica in coordinate omogenee.
Scrivo la conica in coordinate omogenee e la interseco con la ...
Salve a tutti ragazzi, volevo proporvi un semplice esercizio ma che aimè, non riesco a impostare,l'esercizio chiede:
Nello spazio vettoriale \(\displaystyle \mathbb R_5 \) si consideri il sottospazio \(\displaystyle E \) delle soluzioni del sistema lineare \(\displaystyle \begin{cases} x + y +z =0 \\ 2r +s = 0 \end{cases} \)
e sia \(\displaystyle L_A: \mathbb R_5 → \mathbb R_4 \) l'applicazione lineare associata alla matrice
\(\displaystyle A = ...
Salve gente,
vorrei sottoporvi 2 esercizi che proprio non riesco a fare. Avrei bisogno di aiuto per capire dove sbaglio
-Il primo, sulle forme quadratiche:
Data la f.q. $x^2+4y^2+4xy$, determinare la matrice associata, scrivere la forma canonica e determinare la matrice $M$ invertibile tale che $((x^{\prime}),(y^{\prime}))=M((x),(y))$.
La prima parte è facile: $((1,2), (2,4))$
A questo punto calcolo gli autovalori e mi esce $lambda_1=0, lambda_2=5$. Una forma canonica, quindi, dovrebbe essere ...
Salve a tutti, scrivo perchè non ricordo un procedimento.
Sia $\phi: R^5 -> R^5$ un endomorfismo e sia:
$M(\phi) = ((h,k,h,k,h),(k,h,k,h,k), (h,k,h,k,h), (k,h,k,h,k), (h,k,h,k,h))$ la matrice ad esso associata.
Se $h$ è diverso da $k$ il rango è ovviamente $2$ ed il sottospazio generale è $V_0 = {(x,y,z,t,w) | x+z+w = y+t =0}$
Non ricordo il procedimento che mi porta a determinare $V_0$ (questa informazione l'ho tratta dal professore).
Come faccio, quindi, dati alcuni vettori a determinare il generico ...
Salve a tutti ragazzi,
stavo rileggendo gli appunti e mi è sorto un dubbio.
Per dimostrare l'esistenza e l'unicità del determinante si può procedere in questo modo:
1) Dimostro l'esistenza facendo vedere che lo sviluppo di Laplace sull'i-esima riga/colonna soddisfa le tre proprietà
2) Deduco lo sviluppo di Liebnitz attraverso i gruppi di permutazioni e così dimostro l'unicità
Fila o il fatto di usare due formule diverse (anche se da Liebnitz si può ricavare Laplace) non va bene?
Grazie delle ...
Ragazzi ho un esercizio per cui sto uscendo pazzo, ho studiato gli endomorfismi ma questo esercizio proprio non lo capisco, sin dalla richiesta del testo.
Chiedo aiuto a voi, ve lo propongo:
Sia f:R²->R² l'endomorfismo di R² tale che \(\displaystyle f(\binom{2}{5})=\binom{1}{1} \) e \(\displaystyle f(\binom{1}{2})=\binom{2}{2} \). Determinare il vettore \(\displaystyle f(\binom{4}{11})\in R^{2} \) immagine di \(\displaystyle \binom{4}{11}\in R^{2} \)
Malgrado non abbia capito moltissimo la ...
Salve ragazzi ho un problema nella risoluzione di un punto di un quesito:.
1)Calcolare gli autovalori di f, descrivere i relativi autospazi e dimostrare che f è dimostrare che f è diagonalizzabile.
la matrice è
1 -4 10
0 -5 15
0 -2 0
Potete spiegrmi la risoluzione passo passo, e pure cosa si intende per moltepl. alg e molt geometrica
Grazie in Anticipo!
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