Trovare i punti impropri di una conica
Salve, ho un problema riguardo alle coniche in coordinate omogenee.
Ho la conica $\gamma : (1+\lambda)x^2 +2xy+y^2+2\lambdax-1+\lambda=0$ si tratta di un iperbole per $\lambda<0$.
L'esercizio mi chiede di trovare gli asintoti della conica. Per quanto riguarda la teoria so che calcolando le polari dei due punti impropri trovo l'equazione degli asintoti.
Il problema che non so risolvere sta nel trovare i due punti impropri data una conica in coordinate omogenee.
Scrivo la conica in coordinate omogenee e la interseco con la retta impropria $x_3=0$
Così facendo ottengo $(1+\lambda)x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=0$
Da qui non so proprio come andare avanti per trovare i punti impropri, risulta che dovrò trovare due punti impropri dato che il delta è maggiore di zero, ma non so il procedimento esatto.
Grazie mille degli aiuti.
Ho la conica $\gamma : (1+\lambda)x^2 +2xy+y^2+2\lambdax-1+\lambda=0$ si tratta di un iperbole per $\lambda<0$.
L'esercizio mi chiede di trovare gli asintoti della conica. Per quanto riguarda la teoria so che calcolando le polari dei due punti impropri trovo l'equazione degli asintoti.
Il problema che non so risolvere sta nel trovare i due punti impropri data una conica in coordinate omogenee.
Scrivo la conica in coordinate omogenee e la interseco con la retta impropria $x_3=0$
Così facendo ottengo $(1+\lambda)x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=0$
Da qui non so proprio come andare avanti per trovare i punti impropri, risulta che dovrò trovare due punti impropri dato che il delta è maggiore di zero, ma non so il procedimento esatto.
Grazie mille degli aiuti.
Risposte
Risolvi l'equazione che hai trovato rispetto ad $x_2$ (o rispetto ad $x_1$, se vuoi):
\(\displaystyle x_2=-x_1 \mp \sqrt{x_1^2-(1+\lambda)x_1^2} \)
Ovvero :
\(\displaystyle x_2=x_1(-1\mp \sqrt{-\lambda}) \)
Scegliendo, ad es., $x_1=1$ hai i due punti impropri :
$A_{oo}\equiv (1,-1-sqrt{-lambda},0),B_{oo}\equiv (1,-1+sqrt{-lambda},0)$
\(\displaystyle x_2=-x_1 \mp \sqrt{x_1^2-(1+\lambda)x_1^2} \)
Ovvero :
\(\displaystyle x_2=x_1(-1\mp \sqrt{-\lambda}) \)
Scegliendo, ad es., $x_1=1$ hai i due punti impropri :
$A_{oo}\equiv (1,-1-sqrt{-lambda},0),B_{oo}\equiv (1,-1+sqrt{-lambda},0)$
Ok grazie mille della risposta, ora ho capito come fare 
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