F invertibile al variare del parametro h
Buongiorno a tutti,
Sono nuovo della comunità quindi abbiate pazienza se sbaglio a postare qualcosa.
Vorrei capire come si svolge il seguente esercizio lasciatomi dal mio professore di Algebra lineare. Sarei molto grato a chi provasse a spiegarmelo. Ringrazio anticipatamente tutti.
Siano $V_3$ lo spazio vettoriale dei vettori ordinari dello spazio ed $finEnd(V_3)$ definito da $f(v)=hv-2vxx(j+k)$ dove $v,j,kinV_3$ e $hinRR$ parametro.
Trovare i valori di $h$ per cui $f$ è invertibile e per tali h definisci $f^-1$.
La mia idea:
La $f$ per essere invertibile deve essere biiettiva quindi iniettiva e suriettiva.
Quindi dobbiamo avere $kerf=0$ e la dimensione di $Imf$ dev'essere uguale alla dimensione del codominio.
Il problema è che purtroppo mi perdo in un bicchiere d'acqua perchè non so come operare con questa $f$
Questo è il vero problema, per me, dell'esercizio.
Sono nuovo della comunità quindi abbiate pazienza se sbaglio a postare qualcosa.
Vorrei capire come si svolge il seguente esercizio lasciatomi dal mio professore di Algebra lineare. Sarei molto grato a chi provasse a spiegarmelo. Ringrazio anticipatamente tutti.
Siano $V_3$ lo spazio vettoriale dei vettori ordinari dello spazio ed $finEnd(V_3)$ definito da $f(v)=hv-2vxx(j+k)$ dove $v,j,kinV_3$ e $hinRR$ parametro.
Trovare i valori di $h$ per cui $f$ è invertibile e per tali h definisci $f^-1$.
La mia idea:
La $f$ per essere invertibile deve essere biiettiva quindi iniettiva e suriettiva.
Quindi dobbiamo avere $kerf=0$ e la dimensione di $Imf$ dev'essere uguale alla dimensione del codominio.
Il problema è che purtroppo mi perdo in un bicchiere d'acqua perchè non so come operare con questa $f$
Questo è il vero problema, per me, dell'esercizio.
Risposte
Ho risolto da solo, spiego la soluzione nel caso qualcuno lo trovasse interessante.
Il vettore $v$ è un vettore ordinario dello spazio dunque si può esprimere per componenti rispetto ai versori $i, j, k$.
Contrariamente a quanto pensavo inizialmente non conviene lavorare con $kerf$ e $Imf$ ma è molto più semplice trovare la matrice associata a $f$ nella base canonica $E=(i, j, k)$ che chiameremo quindi $M_f^(E, E)$ questa matrice avrà per colonne ovviamente le componenti delle immagini dei vettori della base canonica rispetto alla base canonica stessa.
Ad esempio la prima colonna sarà:
$f(i)=hi-2ixx(j+k)$
$f(i)=hi-2ixxj-2ixxk$
$f(i)=hi-2k+2j$
Quindi la prima colonna sarà $(h, 2, -2)$ e così via..
Ottenuta la matrice basta calcolarne il determinante e vedere per quali $h$ è $!=0$.
La $f^-1$ si può esprimere attraverso la matrice inversa che è facile da trovare.
Scusate se me la son cantata e me la son suonata, se cancellerete il post capirò
Il vettore $v$ è un vettore ordinario dello spazio dunque si può esprimere per componenti rispetto ai versori $i, j, k$.
Contrariamente a quanto pensavo inizialmente non conviene lavorare con $kerf$ e $Imf$ ma è molto più semplice trovare la matrice associata a $f$ nella base canonica $E=(i, j, k)$ che chiameremo quindi $M_f^(E, E)$ questa matrice avrà per colonne ovviamente le componenti delle immagini dei vettori della base canonica rispetto alla base canonica stessa.
Ad esempio la prima colonna sarà:
$f(i)=hi-2ixx(j+k)$
$f(i)=hi-2ixxj-2ixxk$
$f(i)=hi-2k+2j$
Quindi la prima colonna sarà $(h, 2, -2)$ e così via..
Ottenuta la matrice basta calcolarne il determinante e vedere per quali $h$ è $!=0$.
La $f^-1$ si può esprimere attraverso la matrice inversa che è facile da trovare.
Scusate se me la son cantata e me la son suonata, se cancellerete il post capirò
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