Diagonalizzabilità al variare del parametro k
Salve, mi trovo in difficoltà con un problema che mi chiede di verificare la diagonalizzabilità al variare di un parametro reale. Ho la matrice:
$((1,-1),(1,k))$
da cui ottengo il polinomio caratteristico calcolando il determinante di $ ((1-t,-1),(1,k-t)) $
che dovrebbe essere
$ t^2 -kt -t +k +1 $
Ora, non capisco come impostare la condizione affinché il polinomio caratteristico risulti scomponibile, è la prima volta che affronto esercizi di questo tipo e il ragionamento che ci sta sotto mi è poco chiaro. Grazie in anticipo!
$((1,-1),(1,k))$
da cui ottengo il polinomio caratteristico calcolando il determinante di $ ((1-t,-1),(1,k-t)) $
che dovrebbe essere
$ t^2 -kt -t +k +1 $
Ora, non capisco come impostare la condizione affinché il polinomio caratteristico risulti scomponibile, è la prima volta che affronto esercizi di questo tipo e il ragionamento che ci sta sotto mi è poco chiaro. Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao,
allora hai la matrice
\begin{pmatrix}
1 &-1 \\
1 & k
\end{pmatrix}
procedi come sempre per ricavare gli autovalori, cioè impostando la matrice $A-\lambdaI$
\begin{pmatrix}
1-\lambda &-1 \\
1 & k-\lambda
\end{pmatrix}
Io ho messo $\lambda$ al posto di $t$, ma è la stessa cosa.
A questo punto ti ricavi il tuo polinomio caratteristico, ossia:
$(1-\lambda)(k-\lambda)+1$
$k-\lambda-k\lambda+\lambda^2+1$
la risolvi quindi come una semplice equazione di secondo grado in $\lambda$, dato che risulta più semplice perchè hai una matrice 2x2.
scrivendola come un'equazione di secondo grado
$\lambda^2-(k+1)\lambda+k+1$
$\lambda=\frac{k+1\pm \sqrt{k^2+2k+1-4k-4}}{2}$
Che semplificato torna
$\lambda=\frac{k+1\pm \sqrt{k^2-2k-3}}{2}$
A questo dovrai imporre che la quantità sotto radice sia maggiore di zero al fine che sia diagonalizzabile, cioè che dovrà avere tutti gli autovalori inclusi in $\mathbb{R}$ e che siano distinti tra di loro.
$k^2-2k-3>0$
Applicando la formula per le disequazioni di secondo grado
$k=\frac{1\pm \sqrt{1+3}}{1}$
Che risulta verificata per $k=3 , k=-1$ cioè per $k<-1\vee k>3$
A questo punto sai che per $k<-1\vee k>3$ avrai sicuramente due autovalori distinti e appartenenti a $\mathbb{R}$
Di conseguenza sai che la loro molteplicità algebrica è sicuramente 1, e coinciderà con quella geometrica dato che $1\leq m.g.\leq m.a. $ (dove con $m.a.=$molt. algebrica e $m.g.=$molt. geometrica)
In conclusione basta che tu faccia il solito procedimento per trovare gli autovalori facendo le opportune considerazioni, cioè, al fine che un endomorfismo sia diagonalizzabile devi avere tutti gli autovalori $\in \mathbb{R}$;
la loro molteplicità algebrica deve coincidere con la relativa molteplicità geometrica.
In questo caso la matrice di partenza sarà diagonalizzabile per $k<-1\vee k>3$ con $k\in \mathbb{R}$
Spero di non aver sbagliato i calcoli, comunque controllali per sicurezza
.
Spero di esserti stato d'aiuto, se ti posso aiutare, per quel poco che so, dimmi pure
Ciao ciao
allora hai la matrice
\begin{pmatrix}
1 &-1 \\
1 & k
\end{pmatrix}
procedi come sempre per ricavare gli autovalori, cioè impostando la matrice $A-\lambdaI$
\begin{pmatrix}
1-\lambda &-1 \\
1 & k-\lambda
\end{pmatrix}
Io ho messo $\lambda$ al posto di $t$, ma è la stessa cosa.
A questo punto ti ricavi il tuo polinomio caratteristico, ossia:
$(1-\lambda)(k-\lambda)+1$
$k-\lambda-k\lambda+\lambda^2+1$
la risolvi quindi come una semplice equazione di secondo grado in $\lambda$, dato che risulta più semplice perchè hai una matrice 2x2.
scrivendola come un'equazione di secondo grado
$\lambda^2-(k+1)\lambda+k+1$
$\lambda=\frac{k+1\pm \sqrt{k^2+2k+1-4k-4}}{2}$
Che semplificato torna
$\lambda=\frac{k+1\pm \sqrt{k^2-2k-3}}{2}$
A questo dovrai imporre che la quantità sotto radice sia maggiore di zero al fine che sia diagonalizzabile, cioè che dovrà avere tutti gli autovalori inclusi in $\mathbb{R}$ e che siano distinti tra di loro.
$k^2-2k-3>0$
Applicando la formula per le disequazioni di secondo grado
$k=\frac{1\pm \sqrt{1+3}}{1}$
Che risulta verificata per $k=3 , k=-1$ cioè per $k<-1\vee k>3$
A questo punto sai che per $k<-1\vee k>3$ avrai sicuramente due autovalori distinti e appartenenti a $\mathbb{R}$
Di conseguenza sai che la loro molteplicità algebrica è sicuramente 1, e coinciderà con quella geometrica dato che $1\leq m.g.\leq m.a. $ (dove con $m.a.=$molt. algebrica e $m.g.=$molt. geometrica)
In conclusione basta che tu faccia il solito procedimento per trovare gli autovalori facendo le opportune considerazioni, cioè, al fine che un endomorfismo sia diagonalizzabile devi avere tutti gli autovalori $\in \mathbb{R}$;
la loro molteplicità algebrica deve coincidere con la relativa molteplicità geometrica.
In questo caso la matrice di partenza sarà diagonalizzabile per $k<-1\vee k>3$ con $k\in \mathbb{R}$
Spero di non aver sbagliato i calcoli, comunque controllali per sicurezza
.Spero di esserti stato d'aiuto, se ti posso aiutare, per quel poco che so, dimmi pure
Ciao ciao
Ciao, credo che siano da analizzare anche i casi $k=-1$ e $k=3$. Gli autovalori avrebbero molteplicità algebrica pari a $2$ (sarebbero coincidenti) e quindi si dovrebbe verificare la loro molteplicità geometrica.
Avevo avuto questa idea ma mi ero bloccato perché avevo contato anche i casi in cui il discriminante si annullava, dunque $ k=-1$ e $k=3$
Infatti la seconda parte del problema mi chiedeva di verificare la diagonalizzabilità per $ k=3 $ ed ottenevo sostituendo un polinomio caratteristico con $m.a.=2$ e radice $2$. Sostituendo viene un autospazio con $m.g.=1$ e dunque non è diagonalizzabile...
Grazie mille, buona giornata
Infatti la seconda parte del problema mi chiedeva di verificare la diagonalizzabilità per $ k=3 $ ed ottenevo sostituendo un polinomio caratteristico con $m.a.=2$ e radice $2$. Sostituendo viene un autospazio con $m.g.=1$ e dunque non è diagonalizzabile...
Grazie mille, buona giornata
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