Esercizio topologia quadriche
Ciao a tutti! 
Avrei bisogno di un aiuto per un esercizio di topologia generale. E' un po' lungo da scrivere, spero che qualcuno abbia la pazienza e la voglia di dargli un occhio. Sono disperata!
L'esercizio dice:
Siano X= $ {(x,y,z)in mathbb(R)| 2(z-3)^2+2(y+2)^2-x^2+4=0} $ e Y= $ {(x,y,z)in X | x>1} $ con la topologia indotta dalla topologia euclidea di $ mathbb(R^3) $
Intanto, ho visto che X è un iperboloide a due falde.
a) si stabilisca se esistono chiusi (risp. aperti) di X che sono chiusi (risp. aperti) in $ mathbb(R^3) $
e questo l'ho fatto in questo modo: dicendo che X è chiuso in $ mathbb(R^3) $ perciò tutti i suoi chiusi sono chiusi in $ mathbb(R^3) $ . (è giusto?)
b) si stabilisca se esistono intorni di P=(2,-2,3) in X che sono intorni di P anche in $ mathbb(R^3) $
ora, so che gli intorni di X saranno del tipo U=V $ nn $ X con V intorno di $ mathbb(R^3) $ perciò esiste un intorno di P in X che è intorno anche in $ mathbb(R^3) $ (è giusto?)
c) si stabilisca se X è un connesso e in caso non lo sia si determinino le sue componenti connesse
X non è connesso perchè X=A1 $ uu $ A2 con A1= $ {(x,y,z)in X | x>1 } $ e A2= $ {(x,y,z)in X | x<1 } $ , A1 $ nn $ A2 = $ O/ $ e A1 e A2 aperti di X non vuoti. Le sue componenti connesse sono A1 e A2 (giusto? )
d) E' possibile trovare un sottoinsieme di $ mathbb(R^3) $ che sia una compattificazione di Alexandroff di X?
e) Si provi che Y\{P} è connesso.
Ecco..nei punti d) ed e) ho delle difficoltà enormi e so proprio da dove cominciare! Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie mille!!!
Avrei bisogno di un aiuto per un esercizio di topologia generale. E' un po' lungo da scrivere, spero che qualcuno abbia la pazienza e la voglia di dargli un occhio. Sono disperata!
L'esercizio dice:
Siano X= $ {(x,y,z)in mathbb(R)| 2(z-3)^2+2(y+2)^2-x^2+4=0} $ e Y= $ {(x,y,z)in X | x>1} $ con la topologia indotta dalla topologia euclidea di $ mathbb(R^3) $
Intanto, ho visto che X è un iperboloide a due falde.
a) si stabilisca se esistono chiusi (risp. aperti) di X che sono chiusi (risp. aperti) in $ mathbb(R^3) $
e questo l'ho fatto in questo modo: dicendo che X è chiuso in $ mathbb(R^3) $ perciò tutti i suoi chiusi sono chiusi in $ mathbb(R^3) $ . (è giusto?)
b) si stabilisca se esistono intorni di P=(2,-2,3) in X che sono intorni di P anche in $ mathbb(R^3) $
ora, so che gli intorni di X saranno del tipo U=V $ nn $ X con V intorno di $ mathbb(R^3) $ perciò esiste un intorno di P in X che è intorno anche in $ mathbb(R^3) $ (è giusto?)
c) si stabilisca se X è un connesso e in caso non lo sia si determinino le sue componenti connesse
X non è connesso perchè X=A1 $ uu $ A2 con A1= $ {(x,y,z)in X | x>1 } $ e A2= $ {(x,y,z)in X | x<1 } $ , A1 $ nn $ A2 = $ O/ $ e A1 e A2 aperti di X non vuoti. Le sue componenti connesse sono A1 e A2 (giusto? )
d) E' possibile trovare un sottoinsieme di $ mathbb(R^3) $ che sia una compattificazione di Alexandroff di X?
e) Si provi che Y\{P} è connesso.
Ecco..nei punti d) ed e) ho delle difficoltà enormi e so proprio da dove cominciare! Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie mille!!!
Risposte
CIa0,
a) Giusto;
b) sbagliato;
c) ti devo credere sulla parola;
d) intuitivamente riesci a capire chi è la compattificazione di Alexandrov di \(\displaystyle X\)?
e) più a monte: \(\displaystyle Y\) è connesso per cammini?
a) Giusto;
b) sbagliato;
c) ti devo credere sulla parola;
d) intuitivamente riesci a capire chi è la compattificazione di Alexandrov di \(\displaystyle X\)?
e) più a monte: \(\displaystyle Y\) è connesso per cammini?
Ti ringrazio davvero tanto per la risposta!
Allora la e) ho provato a farla ed effettivamente mi viene che Y\{P} è connesso per archi e quindi di conseguenza è connesso. Giusto?
La d) sinceramente non ne ho idea intuitivamente. Però prima ho provato a farlo e forse qualcosa ho trovato.
Allora parto dal teorema che mi dice che se uno spazio topologico è localmente compatto e Hausdorff allora esiste una compattificazione di Alexandroff di X.
Ora, $ mathbb(R^3) $ con la topologia euclidea è di Hausdorff (non sto a dimostrarlo ora) perciò X è di Hausdorff (perchè se uno spazio topologico X è Hausdorff e Y è un sottospazio di X con la topologia indotta, allora Y è di Hausdoff)
Inoltre X è localmente compatto in quanto è sottospazio chiuso di uno spazio di Hausdorff e localmente compatto ($ mathbb(R^3) $) . Perciò esiste una compattificazione di Alexandroff di X.
Sono totalmente fuoristrada?
Allora la e) ho provato a farla ed effettivamente mi viene che Y\{P} è connesso per archi e quindi di conseguenza è connesso. Giusto?
La d) sinceramente non ne ho idea intuitivamente. Però prima ho provato a farlo e forse qualcosa ho trovato.
Allora parto dal teorema che mi dice che se uno spazio topologico è localmente compatto e Hausdorff allora esiste una compattificazione di Alexandroff di X.
Ora, $ mathbb(R^3) $ con la topologia euclidea è di Hausdorff (non sto a dimostrarlo ora) perciò X è di Hausdorff (perchè se uno spazio topologico X è Hausdorff e Y è un sottospazio di X con la topologia indotta, allora Y è di Hausdoff)
Inoltre X è localmente compatto in quanto è sottospazio chiuso di uno spazio di Hausdorff e localmente compatto ($ mathbb(R^3) $) . Perciò esiste una compattificazione di Alexandroff di X.
Sono totalmente fuoristrada?
In attesa che tu capisca l'errore della domanda (b) [basta un disegno mentale]:
e) in generale la connessione per archi (o cammini) implica la connessione tout court; e se sei in un \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) con la topologia naturale, le due nozioni sono coincidenti sugli insiemi aperti.
d) ...ne parliamo domani a mente fresca; per adesso abbiamo l'esistenza (come mi prudono le mani)!
e) in generale la connessione per archi (o cammini) implica la connessione tout court; e se sei in un \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) con la topologia naturale, le due nozioni sono coincidenti sugli insiemi aperti.
d) ...ne parliamo domani a mente fresca; per adesso abbiamo l'esistenza (come mi prudono le mani)!
Giusto due parole sul mio prurito alle mani: click!
Se non ricordo male, la conica impropria dell'iperboloide a due falde è non degenere ed a punti reali: quindi è un'ellisse!
Ci sono fin qui?
Se non ricordo male, la conica impropria dell'iperboloide a due falde è non degenere ed a punti reali: quindi è un'ellisse!
Ci sono fin qui?
(Scusa il ritardo, ho avuto problemi di connessione)
Allora, la b) effettivamente era sbagliata. Infatti, pensandoci su, essendo la topologia indotta un intorno di X sarà del tipo U=V ∩ X con V intorno di $ mathbb(R^3) $ perciò U non è anche un intorno di $ mathbb(R^3) $ in quanto se lo fosse, per definizione, dovrebbe esistere A aperto di $ mathbb(R^3) $ , A $ sub $ U , ma in realtà non è così. (un aperto di $ mathbb(R^3) $ è una sferetta aperta). Ci sono?
Allora, la b) effettivamente era sbagliata. Infatti, pensandoci su, essendo la topologia indotta un intorno di X sarà del tipo U=V ∩ X con V intorno di $ mathbb(R^3) $ perciò U non è anche un intorno di $ mathbb(R^3) $ in quanto se lo fosse, per definizione, dovrebbe esistere A aperto di $ mathbb(R^3) $ , A $ sub $ U , ma in realtà non è così. (un aperto di $ mathbb(R^3) $ è una sferetta aperta). Ci sono?
Ok, il punto (b) è concluso!
(Mi son dimenticata un pezzo di risposta 
)
Sì, la conica impropria dell'iperboloide a due falde è un'ellisse!!
) Sì, la conica impropria dell'iperboloide a due falde è un'ellisse!!
Compattificando con un punto all'infinito...
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