Se u e v sono dipendenti, f(u) e f(v) lo sono ancora?

[LabanTwissel]

Salve ragazzi, ho questa domanda:

Dati due vettori u e v dipendenti in V
Data un'applicazione lineare f da V in W
f(u) e f(v) sono ancora dipendenti?

La mia risposta é:

Si perché dato che i vettori sono dipendenti posso porre u= kv
Dato che f é lineare vale la proprietà f(kv)=f(u)=kf(v) quindi f(u) e f(v) sono ancora esprimibili una in funzione dell'altra, quindi dipendenti.

Che ne pensate?

[Pappappero1]

Concordo. E se $v_1, ... , v_k$ sono dipendenti, cosa si puo' dire di $f(v_1) , ... , f(v_k)$?

[LabanTwissel]

"Pappappero":Concordo. E se $v_1, ... , v_k$ sono dipendenti, cosa si puo' dire di $f(v_1) , ... , f(v_k)$?

Grazie per la risposta!

Se l'insieme da considerare fosse (v1...vn) dipendenti
Porrei l'esistenza di un vk tale che (a1)v1+....+(an)Vn-(ak)Vk=0
Siccome f é lineare f(a)+f(b)=f(a+b)
allora f((a1)v1+...+(an)vn)-f((ak)vk) = f((a1)v1+...+(an)vn-(ak)vk) = f(0) = 0
Da cui segue che la dipendenza dei vettori é conservata

[Pappappero1]

Esatto. Per farla piu' facile, una mappa lineare puo' solo aggiungere dipendenze, ma toglierle. Se un insieme di vettori e' formato da elementi dipendenti, allora ogni immagine e' ancora fatta di elementi dipendenti. Viceversa, se un insieme di vettori e' formato da elementi indipendenti, esistono mappe che rendono quegli elementi dipendenti.