Trovare l'equazione cartesiana di una conica
Buonasera,
Ho un esercizio d'esame di algebra lineare al quale non so dare una soluzione, il testo è questo,
Si determini l'equazione cartesiana della conica $ \gamma $ avente centro in $ C(-1,0) $ tangente in $ T(-1,2) $ alla retta $r: y=-x+1 $ e passante per il punto $ Q(3,2)$.
Provando una risoluzione, tentavo di costruire il fascio di coniche con le condizioni date dal problema, si tratterebbe quindi di un fascio di coniche tangenti in $T$ a $r$ e passante per $Q$ e per $C$. Sapendo che la conica ha centro so che sicuramente si tratterà o di un ellisse o di un'iperbole.
Costruisco il fascio di coniche $(x-2y+1)(x+y-1)+\lambda(x+1)(y-2)=0$
Riscrivendolo meglio $ x^2 +(-2\lambda-2)xy-2y^2-2\lambdax+(\lambda+3)y -1-2\lambda=0$
poi mi ricavo la matrice completa $A_\lambda$ relativa al fascio e impongo le condizioni per le quali devo ottenere ellissi o iperboli.
Sostituisco i valori di $\lambda$ trovati e trovo l'equazione della conica cercata.
La domanda che vi faccio, è giusta questa soluzione, oppure devo farla in altro modo.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Ho un esercizio d'esame di algebra lineare al quale non so dare una soluzione, il testo è questo,
Si determini l'equazione cartesiana della conica $ \gamma $ avente centro in $ C(-1,0) $ tangente in $ T(-1,2) $ alla retta $r: y=-x+1 $ e passante per il punto $ Q(3,2)$.
Provando una risoluzione, tentavo di costruire il fascio di coniche con le condizioni date dal problema, si tratterebbe quindi di un fascio di coniche tangenti in $T$ a $r$ e passante per $Q$ e per $C$. Sapendo che la conica ha centro so che sicuramente si tratterà o di un ellisse o di un'iperbole.
Costruisco il fascio di coniche $(x-2y+1)(x+y-1)+\lambda(x+1)(y-2)=0$
Riscrivendolo meglio $ x^2 +(-2\lambda-2)xy-2y^2-2\lambdax+(\lambda+3)y -1-2\lambda=0$
poi mi ricavo la matrice completa $A_\lambda$ relativa al fascio e impongo le condizioni per le quali devo ottenere ellissi o iperboli.
Sostituisco i valori di $\lambda$ trovati e trovo l'equazione della conica cercata.
La domanda che vi faccio, è giusta questa soluzione, oppure devo farla in altro modo.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Risposte
La conica richiesta passa anche per il punto $Q'\equiv(-5,-2)$, simmetrico di $Q$ rispetto al centro C, e per il punto
$T'\equiv(-1,-2)$, simmetrico di T sempre rispetto al centro C. A questo punto abbiamo 5 punti della conica e quindi possiamo scrivere l'equazione del fascio di coniche avente per punti base T,T,Q,Q' che è simbolicamente di questo tipo:
$lambda (T T cdot Q Q')+mu (TQ cdot TQ')=0$
( dove $T T$ è la tangente r). Imponendo il passaggio per il quinto punto $T'$ si può ottenere $mu$ in funzione di $lambda$ che si sostituisce poi nell'equazione del fascio.
Se non ho sbagliato i calcoli l'equazione della conica è :
$x^2-2xy-y^2+2x-2y+5=0$
Si tratta di una iperbole equilatera ( i coefficienti di $x^2$ e di $y^2$ sono opposti).
[Sei invitato a verificare i calcoli. Hai visto mai...
]
$T'\equiv(-1,-2)$, simmetrico di T sempre rispetto al centro C. A questo punto abbiamo 5 punti della conica e quindi possiamo scrivere l'equazione del fascio di coniche avente per punti base T,T,Q,Q' che è simbolicamente di questo tipo:
$lambda (T T cdot Q Q')+mu (TQ cdot TQ')=0$
( dove $T T$ è la tangente r). Imponendo il passaggio per il quinto punto $T'$ si può ottenere $mu$ in funzione di $lambda$ che si sostituisce poi nell'equazione del fascio.
Se non ho sbagliato i calcoli l'equazione della conica è :
$x^2-2xy-y^2+2x-2y+5=0$
Si tratta di una iperbole equilatera ( i coefficienti di $x^2$ e di $y^2$ sono opposti).
[Sei invitato a verificare i calcoli. Hai visto mai...
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ok grazie mille della risposta, però non ho ben capito una cosa. Per trovare i restanti punti per il fascio coniche basta notare che rispetto al centro i punti sono simmetrici? E poi di conseguenza costruisco il fascio. In ogni esercizio simile basta notare queste cose?. Grazie
Il centro ( proprio) di una conica ( ellissi o iperbole) è centro di simmetria della conica. Pertanto, ogni volta che si conosce il centro ( sempre proprio) ed un punto della conica , si conosce anche il punto simmetrico e questo rende più facile la ricerca dell'equazione della conica medesima.
Perfetto, mi hai dato un valido aiuto per l'esame. Grazie 
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