Trovare l'equazione cartesiana di un sottospazio

[Amartya]

Salve a tutti, scrivo perchè non ricordo un procedimento.

Sia $\phi: R^5 -> R^5$ un endomorfismo e sia:


$M(\phi) = ((h,k,h,k,h),(k,h,k,h,k), (h,k,h,k,h), (k,h,k,h,k), (h,k,h,k,h))$ la matrice ad esso associata.

Se $h$ è diverso da $k$ il rango è ovviamente $2$ ed il sottospazio generale è $V_0 = {(x,y,z,t,w) | x+z+w = y+t =0}$

Non ricordo il procedimento che mi porta a determinare $V_0$ (questa informazione l'ho tratta dal professore).

Come faccio, quindi, dati alcuni vettori a determinare il generico sottospazio?

Nel caso so che ho solo $2$ vettori l.i. ma non mi ricordo il procedimento.

Grazie a tutti in anticipo.

[Amartya]

"emanuele78":Salve a tutti, scrivo perchè non ricordo un procedimento.

Sia $\phi: R^5 -> R^5$ un endomorfismo e sia:


$M(\phi) = ((h,k,h,k,h),(k,h,k,h,k),(h,k,h,k,h), (k,h,k,h,k),(h,k,h,k,h))$ la matrice ad esso associata.

Se $h$ è diverso da $k$ il rango è ovviamente $2$ ed il sottospazio generale è $V_0 = {(x,y,z,t,w) | x+z+w = y+t =0}$

Non ricordo il procedimento che mi porta a determinare $V_0$ (questa informazione l'ho tratta dal professore).

Come faccio, quindi, dati alcuni vettori a determinare il generico sottospazio?

Nel caso so che ho solo $2$ vettori l.i. ma non mi ricordo il procedimento.

Grazie a tutti in anticipo.

sulla base delle info raccolte nel web ho cercato di dare una risposta al quesito postato.

In pratica aggiungo alla matrice data una colonna nel seguente modo: $((h,k,h,k,h,x),(k,h,k,h,k,y), (h,k,h,k,h,z), (k,h,k,h,k,t), (h,k,h,k,h,w))$ e quindi riduco a scalini e pongo il determinante trovato a $0$ ma il risultato che ottengo è diverso da quello del prof. suggerimenti? Non so più dove cercare.

[Amartya]

"emanuele78":sulla base delle info raccolte nel web ho cercato di dare una risposta al quesito postato.

In pratica aggiungo alla matrice data una colonna nel seguente modo: $((h,k,h,k,h,x),(k,h,k,h,k,y), (h,k,h,k,h,z), (k,h,k,h,k,t), (h,k,h,k,h,w))$ e quindi riduco a scalini e pongo il determinante trovato a $0$ ma il risultato che ottengo è diverso da quello del prof. suggerimenti? Non so più dove cercare.

Ho affrontato due metodi ed ambedue mi danno lo stesso risultato, francamente non riesco a capire come il professore sia giunto a quella conclusione ($x+z+w = y+t =0$)

Allora nel primo metodo ottengo riducendo per righe: $((h,k,h,k,h,x),(k,h,k,h,k,y), (0,0,0,0,0,z-x), (0,0,0,0,0,t-y), (0,0,0,0,0,w-x))$ e quindi $((h,k,h,k,h,x),(k,h,k,h,k,y), (0,0,0,0,0,z-x -t+y -w+x))$ riducendo per colonne ottengo:


$((h,k,x),(k,h,y), (0,0, z-x -t+y -w+x))$ e pertanto l'equazione cartesiana diventa :


$ z-x -t +y -w+x = z-w =t-y =0$ in definitiva $z-w = t-y =0$

che non è quella del prof per $h$ diverso da $(+/-) K$

Un'altro metodo che ho trovato mi fa giungere alla stessa soluzione.

Se $h$ diverso da $+/- K$

Il rango della matrice originaria è $2$ consideriamo i due vettori l.i. questi sono $v_1 = (h,k,h,k,h)$ e $v_2 =(k,h,k,h,k)$ ora aggiungiamo il vettore delle incognite di $R^5$ che è $v_3=(x,y,z,t,w)$, pertanto si considera la matrice:
$((h,k,x),(k,h,y),(h,k,z),(k,h,t),(h,k,w))$ orlando il minore $((h,k),(k,h))$ il cui rango è $2$ uguale al rango della matrice, otteniamo le condizioni (essendo che ogni matrice maggiore di $2X2$ deve avere determinante $"=0$ essendo gli altri tre vettori esprimibili come combinazione lineare dei primi due (cosa visivamente ovvia)):

det $((h,k,x),(k,h,y),(h,k,z)) = 0$, det $((h,k,x),(k,h,y),(k,h,t)) = 0$ e det $((h,k,x),(k,h,y),(h,k,w)) = 0$

e si ha : $(z-x = t-y = w -x = z-w = t-y =0)$ pertanto l'equazione cartesiana risulta ancora essere : $z-w = t-y = 0$

Ritengo che non stia facendo un errore logico o di metodo (anche se può sempre essere), purt tuttavia non capisco dove sto sbagliando essendo che al prof. risulta $x+z+w = y+t =0$

Se qualcuno più bravo di me ha voglia di aiutarmi gli sarei grato.