Problema su polinomio caratteristico e forme quadratiche.
Salve gente,
vorrei sottoporvi 2 esercizi che proprio non riesco a fare. Avrei bisogno di aiuto per capire dove sbaglio
-Il primo, sulle forme quadratiche:
Data la f.q. $x^2+4y^2+4xy$, determinare la matrice associata, scrivere la forma canonica e determinare la matrice $M$ invertibile tale che $((x^{\prime}),(y^{\prime}))=M((x),(y))$.
La prima parte è facile: $((1,2), (2,4))$
A questo punto calcolo gli autovalori e mi esce $lambda_1=0, lambda_2=5$. Una forma canonica, quindi, dovrebbe essere $q(x^{\prime},y^{\prime})=5(x^{\prime})^2$.
A questo punto cerco $M$: calcolo una base per ciascun autospazio e mi ritrovo $M=((-2,1),(1,2))$.
E' corretto il mio svolgimento?
-Sul secondo esercizio, ho molti più dubbi:
sia $A$ una matrice 2x2 reale con $p_A(t)=t^2-4$. Determinare autovalori, stabilire se $A$ è diagonalizzabile ed, infine, stabilire se $A^2$ è diagonalizzabile calcolando gli autovalori e determinandola.
In effetti di questo esercizio, l'unica cosa che so dire è che $t=\pm2$.
Come dovrei procedere? E qual'è la relazione che sicuramente sussiste tra $p_A(t)$ e $p_(A^2)(t)$?
Grazie pre l'aiuto.
vorrei sottoporvi 2 esercizi che proprio non riesco a fare. Avrei bisogno di aiuto per capire dove sbaglio
-Il primo, sulle forme quadratiche:
Data la f.q. $x^2+4y^2+4xy$, determinare la matrice associata, scrivere la forma canonica e determinare la matrice $M$ invertibile tale che $((x^{\prime}),(y^{\prime}))=M((x),(y))$.
La prima parte è facile: $((1,2), (2,4))$
A questo punto calcolo gli autovalori e mi esce $lambda_1=0, lambda_2=5$. Una forma canonica, quindi, dovrebbe essere $q(x^{\prime},y^{\prime})=5(x^{\prime})^2$.
A questo punto cerco $M$: calcolo una base per ciascun autospazio e mi ritrovo $M=((-2,1),(1,2))$.
E' corretto il mio svolgimento?
-Sul secondo esercizio, ho molti più dubbi:
sia $A$ una matrice 2x2 reale con $p_A(t)=t^2-4$. Determinare autovalori, stabilire se $A$ è diagonalizzabile ed, infine, stabilire se $A^2$ è diagonalizzabile calcolando gli autovalori e determinandola.
In effetti di questo esercizio, l'unica cosa che so dire è che $t=\pm2$.
Come dovrei procedere? E qual'è la relazione che sicuramente sussiste tra $p_A(t)$ e $p_(A^2)(t)$?
Grazie pre l'aiuto.
Risposte
"Khurt":
-Sul secondo esercizio, ho molti più dubbi:
sia $A$ una matrice 2x2 reale con $p_A(t)=t^2-4$. Determinare autovalori, stabilire se $A$ è diagonalizzabile ed, infine, stabilire se $A^2$ è diagonalizzabile calcolando gli autovalori e determinandola.
In effetti di questo esercizio, l'unica cosa che so dire è che $t=\pm2$.
Come dovrei procedere? E qual'è la relazione che sicuramente sussiste tra $p_A(t)$ e $p_(A^2)(t)$?
Grazie pre l'aiuto.
questo è il tuo polinomio caratteristico $p(t)=t^2-4$ e ti ritrovi come giustamente hai detto $t=\pm 2$
ecco secondo me quelli sono i tuoi 2 autovalori, una matrice che ha quegli autovalori?
Per esempio questa $ A=( ( 2 , 0 ),( 0 , -2 ) ) $ se noti i tuoi autovalori sono proprio $t= \pm 2$
per stabilire se la matrice è diagonalizzabile.. calcola l'autospazio e così ti trovi la molteplicità geometrica, se la molteplicità geometrica è uguale alla molteplicità algebrica allora hai vinto, che la matrice è diagonalizzabile..
per trovare l'autospazio, ammettiamo che $t=\lambda_0$ sia un autovalore della matrice..
allora l'autospazio si trova $ V_(\lambda_0)=Ker(A-\lambda_0 I_n) $, ove $I_n$ è la matrice identità..
beh, ma non si può fare una scelta così arbitraria. Facendo i conti, qualunque matrice del tipo $((a,b),(c,-a))$ con $a^2+bc=4$ ha quel polinomio caratteristico. Perché dovrei sceglierne una invece che un'altra?
No, quello che si può dire è che essendo $A$ una matrice reale 2x2 con 2 autovalori distinti, sicuramente è diagonalizzabile.
Il problema infatti, probabilmente mi son spiegato male, sorge quando mi chiede di calcolare $A^2$. Non riesco a trovare da nessuna parte la relazione che lega il polinomio di $A$ a quello di $A^2$
No, quello che si può dire è che essendo $A$ una matrice reale 2x2 con 2 autovalori distinti, sicuramente è diagonalizzabile.
Il problema infatti, probabilmente mi son spiegato male, sorge quando mi chiede di calcolare $A^2$. Non riesco a trovare da nessuna parte la relazione che lega il polinomio di $A$ a quello di $A^2$
quindi nessuno mi può aiutare?
Per quello che ne so, per ogni matrice quadrata A gli autovalori di $A^n$ sono la potenza n-esima di quelli della matrice A. Nel nostro caso tali autovalori coincidono:
$lambda_1=lambda_2=(-2)^2=(+2)^2=4$
A questo risultato ci si arriva anche direttamente. Infatti, come hai detto anche tu, le matrici richieste sono del tipo:
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix} \) con $a^2+bc=4$
Calcolando $A^2$ risulta :
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix} \)
e dunque $A^2$ è già in forma diagonale e gli autovalori sono entrambi uguali a 4.
$lambda_1=lambda_2=(-2)^2=(+2)^2=4$
A questo risultato ci si arriva anche direttamente. Infatti, come hai detto anche tu, le matrici richieste sono del tipo:
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix} \) con $a^2+bc=4$
Calcolando $A^2$ risulta :
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix} \)
e dunque $A^2$ è già in forma diagonale e gli autovalori sono entrambi uguali a 4.
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