Calcolo delle polari dei punti impropri di una conica!!!
Buongiorno a tutti! Sono nuova qui! Sono una studentessa del primo anno di matematica e avevo bisogno di un aiuto riguardo al calcolo delle polari! Non riesco a capire il procedimento che viene utilizzato. Mi spiego meglio. Se abbiamo ad esempio : x^2+y-2x-y^2+1=0 sapendo che i punti impropri sono A(1,1,0) e B (1,-1,0) come si calcoleranno i due asintoti? Grazie per chi risponderà 
Risposte
Ciao, anche io sono nuovo qua, provo a darti una risposta.
intanto la conica che hai scritto te è un iperbole non equilatera, quindi sarà dotata di centro. I punti impropri non sono altro che l'intersezione all'infinito dell'iperbole con gli asintoti. Mi spiego meglio, significa che in quei due punti la conica "tocca l'asintoto".
A questo punto sappiamo che i due punti appartengono alla conica, e basterà quindi applicare la formula per la polare in coordinate omogenee e troveremo le rette tangenti ai due punti impropri che non saranno altro che i due asintoti.
In calcoli:
La formula è $(q_1,q_2,q_3)A(x_1,x_2,x_3)^T$ dove $Q=(q_1,q_2,q_3)$ è il generico punto proprio o improprio ed A la matrice A-tilde della conica.
Applico la formula prendendo come punto $A(1,1,0)$
Moltiplico$(1,1,0)$ per la matrice \begin{pmatrix}
2 & 0 & -2 \\
0 & -2 & 1 \\
-2 & 1 & 2
\end{pmatrix} e infine per le incognite $(x_1,x_2,x_3)^T$
Ottengo la retta $2x_1-2x_2-x_3=0$ in coordinate omogenee, ricordando l'uguaglianza tra coordinate cartesiane e omogenee, pongo $x=x_1/x_3$ e $y=x_2/x_3$ così facendo ottengo la retta $2x-2y-1=0$
Per l'altro asintoto, dovrai fare lo stesso procedimento, oppure notare che gli asintoti sono perperndcolari tra di loro e si incontrano nel centro dell'iperbole.
Spero di esserti stato d'aiuto.
ciao
intanto la conica che hai scritto te è un iperbole non equilatera, quindi sarà dotata di centro. I punti impropri non sono altro che l'intersezione all'infinito dell'iperbole con gli asintoti. Mi spiego meglio, significa che in quei due punti la conica "tocca l'asintoto".
A questo punto sappiamo che i due punti appartengono alla conica, e basterà quindi applicare la formula per la polare in coordinate omogenee e troveremo le rette tangenti ai due punti impropri che non saranno altro che i due asintoti.
In calcoli:
La formula è $(q_1,q_2,q_3)A(x_1,x_2,x_3)^T$ dove $Q=(q_1,q_2,q_3)$ è il generico punto proprio o improprio ed A la matrice A-tilde della conica.
Applico la formula prendendo come punto $A(1,1,0)$
Moltiplico$(1,1,0)$ per la matrice \begin{pmatrix}
2 & 0 & -2 \\
0 & -2 & 1 \\
-2 & 1 & 2
\end{pmatrix} e infine per le incognite $(x_1,x_2,x_3)^T$
Ottengo la retta $2x_1-2x_2-x_3=0$ in coordinate omogenee, ricordando l'uguaglianza tra coordinate cartesiane e omogenee, pongo $x=x_1/x_3$ e $y=x_2/x_3$ così facendo ottengo la retta $2x-2y-1=0$
Per l'altro asintoto, dovrai fare lo stesso procedimento, oppure notare che gli asintoti sono perperndcolari tra di loro e si incontrano nel centro dell'iperbole.
Spero di esserti stato d'aiuto.
ciao
"Serafini":
Ciao, anche io sono nuovo qua, provo a darti una risposta.
intanto la conica che hai scritto te è un iperbole non equilatera, quindi sarà dotata di centro. I punti impropri non sono altro che l'intersezione all'infinito dell'iperbole con gli asintoti. Mi spiego meglio, significa che in quei due punti la conica "tocca l'asintoto".
A questo punto sappiamo che i due punti appartengono alla conica, e basterà quindi applicare la formula per la polare in coordinate omogenee e troveremo le rette tangenti ai due punti impropri che non saranno altro che i due asintoti.
In calcoli:
La formula è $(q_1,q_2,q_3)A(x_1,x_2,x_3)^T$ dove $Q=(q_1,q_2,q_3)$ è il generico punto proprio o improprio ed A la matrice A-tilde della conica.
Applico la formula prendendo come punto $A(1,1,0)$
Moltiplico$(1,1,0)$ per la matrice \begin{pmatrix}
2 & 0 & -2 \\
0 & -2 & 1 \\
-2 & 1 & 2
\end{pmatrix} e infine per le incognite $(x_1,x_2,x_3)^T$
Ottengo la retta $2x_1-2x_2-x_3=0$ in coordinate omogenee, ricordando l'uguaglianza tra coordinate cartesiane e omogenee, pongo $x=x_1/x_3$ e $y=x_2/x_3$ così facendo ottengo la retta $2x-2y-1=0$
Per l'altro asintoto, dovrai fare lo stesso procedimento, oppure notare che gli asintoti sono perperndcolari tra di loro e si incontrano nel centro dell'iperbole.
Spero di esserti stato d'aiuto.
ciao
Grazie per la spiegazione! Era un passaggio che non capivo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo