Endomorfismo f in R3 che verifica 2 condizioni
Ciao a tutti, ho trovato uno scritto di algebra lineare con questo esercizio che non so risolvere.
Grazie in anticipo a chi mi darà una mano.
Determinare, se esiste, un endomorfismo f in R3 che verifica le seguenti condizioni:
1) f(1,0,1)=(-1,-3,-2)
2) V=[(x,y,z): x-y+2z=0] è autospazio relativo all'autovalore 2
Il problema è che non riesco a capire come utilizzare il secondo punto: fin'ora ho utilizzato le condizioni dell'autospazio per generare i vettori linearmente indipendenti che lo formano:
v1=(-2,0,1)
v2=(1,1,0)
Questi, però, dovrebbero essre relativi all'autospazio generato dall'autovalore 2 (che dovrebbe essere ricavato dalla matrice rappresentativa dell'endomorfismo) e quì quindi mi blocco perchè non capisco come collegare le due condizioni.
Tutti gli esercizi fatti a riguardo si limitavano ad avere tre condizioni simili alla prima da verificare contemporaneamente, e in quel caso il problema era relativamente semplice perchè bastava verificare che i tre vettori fossero linearmente indipendenti.
E' concettualmente sbagliato, provare a fare lo stesso procedimento utilizzando i vettori v1 e v2 precedentemente ricavati e la base (1,0,1) della prima condizione?
Grazie in anticipo a chi mi darà una mano.
Determinare, se esiste, un endomorfismo f in R3 che verifica le seguenti condizioni:
1) f(1,0,1)=(-1,-3,-2)
2) V=[(x,y,z): x-y+2z=0] è autospazio relativo all'autovalore 2
Il problema è che non riesco a capire come utilizzare il secondo punto: fin'ora ho utilizzato le condizioni dell'autospazio per generare i vettori linearmente indipendenti che lo formano:
v1=(-2,0,1)
v2=(1,1,0)
Questi, però, dovrebbero essre relativi all'autospazio generato dall'autovalore 2 (che dovrebbe essere ricavato dalla matrice rappresentativa dell'endomorfismo) e quì quindi mi blocco perchè non capisco come collegare le due condizioni.
Tutti gli esercizi fatti a riguardo si limitavano ad avere tre condizioni simili alla prima da verificare contemporaneamente, e in quel caso il problema era relativamente semplice perchè bastava verificare che i tre vettori fossero linearmente indipendenti.
E' concettualmente sbagliato, provare a fare lo stesso procedimento utilizzando i vettori v1 e v2 precedentemente ricavati e la base (1,0,1) della prima condizione?
Risposte
Ciao, dall'autospazio hai trovato giustamente $$v_1 = \begin{bmatrix}-2\\0\\1\end{bmatrix} \qquad v_2 = \begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$$ Dalla definizione di autovettore sappiamo che $$Av = \lambda v$$ dove in questo caso vale $\lambda = 2$. Quindi, chiamando $A$ la matrice che vogliamo trovare, possiamo scrivere $$A\begin{bmatrix}-2\\0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4\\0\\2\end{bmatrix} \qquad A\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\2\\0\end{bmatrix}$$ Inoltre dalla prima condizione abbiamo $$A\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1\\-3\\-2\end{bmatrix}$$ Poniamo ora $$A = \left[\begin{array}{c|c|c}a_1&a_2&a_3\end{array}\right]$$ dove $a_i$ rappresenta l'i-esima colonna di $A$. Dalle tre condizioni che abbiamo scritto possiamo dire $$\begin{cases}a_1+a_2 = \begin{bmatrix}2\\2\\0\end{bmatrix} \\ -2a_1+a_3 = \begin{bmatrix}-4\\0\\2\end{bmatrix} \\ a_1+a_3 = \begin{bmatrix}-1\\-3\\-2\end{bmatrix}\end{cases}$$ Risolvendo ottengo la matrice $$A = \begin{bmatrix}1&1&-2\\-1&3&-2\\-\frac{4}{3}&\frac{4}{3}&-\frac{2}{3}\end{bmatrix}.$$
Tutto chiaro. Grazie mille!!!
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