Piccolo esercizio applicazione lineare
Salve a tutti ragazzi, volevo proporvi un semplice esercizio ma che aimè, non riesco a impostare,l'esercizio chiede:
Nello spazio vettoriale \(\displaystyle \mathbb R_5 \) si consideri il sottospazio \(\displaystyle E \) delle soluzioni del sistema lineare \(\displaystyle \begin{cases} x + y +z =0 \\ 2r +s = 0 \end{cases} \)
e sia \(\displaystyle L_A: \mathbb R_5 → \mathbb R_4 \) l'applicazione lineare associata alla matrice
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix}1&1&0&-1&0\\0&1&2&1&1\\-1&-1&0&0&1\\2&3&2&0&0\end{pmatrix} \)
Considerato il sottospazio \(\displaystyle E \), si trovi una base per il sottospazio \(\displaystyle L_A(E) \) di \(\displaystyle \mathbb R_4 \)
ho trovato una base per \(\displaystyle E \) \(\displaystyle [1,0,-1,0,0],[0,1,-1,0,0],[0,0,0,1,-2] \)
riducendo la matrice \(\displaystyle A \) a scala ottengo \(\displaystyle A = \begin{pmatrix}1&1&0&-1&0\\0&1&2&1&1\\0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&-1\end{pmatrix} \) , quest'ultima ha \(\displaystyle rango = 4 \), ora mi chiedo se quello che ho fatto fin'ora sia inutile o meno? cioè non so come impostarlo, qualche suggerimento?
Nello spazio vettoriale \(\displaystyle \mathbb R_5 \) si consideri il sottospazio \(\displaystyle E \) delle soluzioni del sistema lineare \(\displaystyle \begin{cases} x + y +z =0 \\ 2r +s = 0 \end{cases} \)
e sia \(\displaystyle L_A: \mathbb R_5 → \mathbb R_4 \) l'applicazione lineare associata alla matrice
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix}1&1&0&-1&0\\0&1&2&1&1\\-1&-1&0&0&1\\2&3&2&0&0\end{pmatrix} \)
Considerato il sottospazio \(\displaystyle E \), si trovi una base per il sottospazio \(\displaystyle L_A(E) \) di \(\displaystyle \mathbb R_4 \)
ho trovato una base per \(\displaystyle E \) \(\displaystyle [1,0,-1,0,0],[0,1,-1,0,0],[0,0,0,1,-2] \)
riducendo la matrice \(\displaystyle A \) a scala ottengo \(\displaystyle A = \begin{pmatrix}1&1&0&-1&0\\0&1&2&1&1\\0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&-1\end{pmatrix} \) , quest'ultima ha \(\displaystyle rango = 4 \), ora mi chiedo se quello che ho fatto fin'ora sia inutile o meno? cioè non so come impostarlo, qualche suggerimento?
Risposte
Dal sistema si ricava che :
\(\displaystyle \begin{cases}z=-x-y\\s=-2r\end{cases} \)
e quindi il generico vettore $v$ di $E$ è :
\(\displaystyle v=\begin{pmatrix}a\\b\\-a-b\\r\\-2r\end{pmatrix} \)
L'immagine di v mediante $L_A$ è :
$L_A(v)=A cdot v$
Facendo i relativi calcoli si trova che :
\(\displaystyle L_A(v)=\begin{pmatrix} a+b-r\\-2a-b-r\\-a-b-2r\\0a+b+0r\end{pmatrix} \)
Quest'ultimo risultato si può scrivere anche come segue :
\(\displaystyle L_a(v)=a\begin{pmatrix} 1\\-2\\-1\\0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 1\\-1\\-1\\1 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} -1\\-1\\-2\\0 \end{pmatrix} \)
Possiamo quindi concludere che :
Base di \(\displaystyle L_A(E)= \left[ \begin{pmatrix}1\\-2\\-1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\-1\\-1\\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\-1\\-2\\0 \end{pmatrix} \right] \)
\(\displaystyle \begin{cases}z=-x-y\\s=-2r\end{cases} \)
e quindi il generico vettore $v$ di $E$ è :
\(\displaystyle v=\begin{pmatrix}a\\b\\-a-b\\r\\-2r\end{pmatrix} \)
L'immagine di v mediante $L_A$ è :
$L_A(v)=A cdot v$
Facendo i relativi calcoli si trova che :
\(\displaystyle L_A(v)=\begin{pmatrix} a+b-r\\-2a-b-r\\-a-b-2r\\0a+b+0r\end{pmatrix} \)
Quest'ultimo risultato si può scrivere anche come segue :
\(\displaystyle L_a(v)=a\begin{pmatrix} 1\\-2\\-1\\0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 1\\-1\\-1\\1 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} -1\\-1\\-2\\0 \end{pmatrix} \)
Possiamo quindi concludere che :
Base di \(\displaystyle L_A(E)= \left[ \begin{pmatrix}1\\-2\\-1\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\-1\\-1\\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\-1\\-2\\0 \end{pmatrix} \right] \)
Perfetto ti ringrazio e un'ultima piccola domandina, se invece delle soluzioni del sistema lineare, ci fosse stato dato un sottospazio \(\displaystyle E \) generato da 3 vettori, in questo caso cosa avremmo dovuto fare? sarebbe stato giusto fare un'unica matrice con questi vettori, ridurla a scala e poi fare il sistema dei vettori appartenenti alla matrice ridotta a scala per poi trovare un vettore generico di \(\displaystyle E \) ?
Se E è già espresso con lo Span di 3 vettori ( lin.ind.) basterà esprimere il generico vettore v di E in funzione dei 3 vettori dati e poi procedere esattamente come ho fatto io per calcolare $L_A(E)$.
La riduzione a scala della matrice dei vettori dati è una cosa che serve a stabilire se i tre vettori sono lin.ind. e a scartare quelli non necessari nel caso quegli stessi vettori non fossero linearmente indipendenti.
La riduzione a scala della matrice dei vettori dati è una cosa che serve a stabilire se i tre vettori sono lin.ind. e a scartare quelli non necessari nel caso quegli stessi vettori non fossero linearmente indipendenti.
okok grazie dell'aiuto!
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