Dubbi orientazione varietà
Ciao a tutti,
ho qualche dubbio sulla definizione di orientazione di una varietà che nasce da un esercizio, spero che qualcuno possa confermare quello che sto per scrivere
Se io ho una varietà, ho anche la sua struttura differenziabile, cioè una classe di equivalenza di atlanti (due atlanti sono nella stessa classe se la loro unione è ancora un atlante). Ora, un atlante della classe si dice orientato se tutte le sue funzioni di transizione preservano l'orientazione (ovvero per ogni punto lo jacobiano della funzione di transizione è maggiore di 0) e una varietà si dice orientabile se ammette un atlante orientato, e fin qui ok. Poi mi dice che due atlanti orientati della struttura differenziabile sono compatibili con l'orientazione se la loro unione è ancora un atlante orientato (l'unione è sicuramente un atlante perchè sono nella stessa struttura, quindi devo solo controllare che le funzioni di transizione "miste" preservino l'orientazione). Quindi abbiamo un'altra relazione di equivalenza fra gli atlanti orientati della stessa struttura differenziabile, e una classe di equivalenza rispetto questa relazione si chiama orientazione della varietà (sappiamo che ogni varietà orientabile ammette solo due classi di orientazione).
Quindi possono esistere nella struttura differenziabile di una varietà orientabile atlanti che non stanno in nessuna delle due classi di orientazione, giusto?
ho qualche dubbio sulla definizione di orientazione di una varietà che nasce da un esercizio, spero che qualcuno possa confermare quello che sto per scrivere
Se io ho una varietà, ho anche la sua struttura differenziabile, cioè una classe di equivalenza di atlanti (due atlanti sono nella stessa classe se la loro unione è ancora un atlante). Ora, un atlante della classe si dice orientato se tutte le sue funzioni di transizione preservano l'orientazione (ovvero per ogni punto lo jacobiano della funzione di transizione è maggiore di 0) e una varietà si dice orientabile se ammette un atlante orientato, e fin qui ok. Poi mi dice che due atlanti orientati della struttura differenziabile sono compatibili con l'orientazione se la loro unione è ancora un atlante orientato (l'unione è sicuramente un atlante perchè sono nella stessa struttura, quindi devo solo controllare che le funzioni di transizione "miste" preservino l'orientazione). Quindi abbiamo un'altra relazione di equivalenza fra gli atlanti orientati della stessa struttura differenziabile, e una classe di equivalenza rispetto questa relazione si chiama orientazione della varietà (sappiamo che ogni varietà orientabile ammette solo due classi di orientazione).
Quindi possono esistere nella struttura differenziabile di una varietà orientabile atlanti che non stanno in nessuna delle due classi di orientazione, giusto?
Risposte
Si. Di fatto basta prendere un atlante orientato e aggiungerci una carta orientata al contrario.
Ok, grazie 
Ma poi le funzioni di transizione sono dei diffeomorfismi, no? Quindi o preservano o rovesciano l'orientazione su insiemi connessi perchè il differenziale è un isomorfismo in quel caso. Nel mio esercizio c'è scritto di supporre che ci siano due carte tali che la loro funzione di transizione non preservi nè rovesci l'orientazione, quindi deve essere che le due carte abbiamo intersezione disconnessa, altrimenti c'è qualcosa che non va, esatto?
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Ma poi le funzioni di transizione sono dei diffeomorfismi, no? Quindi o preservano o rovesciano l'orientazione su insiemi connessi perchè il differenziale è un isomorfismo in quel caso. Nel mio esercizio c'è scritto di supporre che ci siano due carte tali che la loro funzione di transizione non preservi nè rovesci l'orientazione, quindi deve essere che le due carte abbiamo intersezione disconnessa, altrimenti c'è qualcosa che non va, esatto?
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Se tu hai un punto (e quindi un intorno) in comune allora la mappa di transizione è definita e come mappa da \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) ha una jacobiano ben definito. Questo siccome la mappa di transizione è la composizione di due diffeomorfismi è un diffeomorfismo essa stessa e quindi il jacobiano non può essere nullo.
Quindi sicuramente devono avere intersezione disconnessa.
Quindi sicuramente devono avere intersezione disconnessa.
Esatto, quindi vuol dire che su alcune componenti connesse dell'intersezione lo jacobiano è positivo e sulle altre è negativo. E' che mi sono un po' persa; l'esercizio dice: "Sia M una varietà e assumiamo esistano due carte $(U_1,\phi_1), (U_2,\phi_2)$ tali che $U_1,U_2$ sono connessi con intersezione non vuota e la funzione di transizione $\phi_{12}$ non preserva nè rovescia l'orientazione. Dimostrare che M non è orientabile." Mi sembrava semplice, ma come al solito mi sono incasinata. Dovrei far vedere che M non ammette nessun atlante orientato, pensavo di argomentare per assurdo magari passando per l'orientazione indotta dalla forma di volume che esisterebbe se supponessimo M orientabile, ma non sono arrivata a niente.
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