Endomorfismo
Salve a tutti, devo determinare al variare di k una base e le dimensioni di Kerf e Imf.
L'esercizio è il seguente:
Sia $ B={e1, e2, e3} $ la base canonica di $R^3$ ed $f : R^3 rarr R^3 $ l'endomorfismo di $R^3$ tale che
$f(e1)= -e1$
$f(e2)= -ke1 + ke2 - 4ke3$
$f(e3)= -ke2 + ke3 $
Fondamentalmente ho un problema con gli esercizi con i parametri. Come devo proseguire?
Avevo pensato di costruire la matrice associata procedendo così:
$f(e1)= -(1, 0, 0)$
$f(e2)= -k(1, 0, 0) + k(0, 1, 0) -4k(0, 0, 1) = (-k, k, -4k)$
$f(e3)= -k(0, 1, 0) + k(0, 0, 1) = (0, -k, k)$
e quindi: $[ ( -1 , 0 , 0 ),( -k , k , -4k ),( 0 , -k , k ) ] $
L'esercizio è il seguente:
Sia $ B={e1, e2, e3} $ la base canonica di $R^3$ ed $f : R^3 rarr R^3 $ l'endomorfismo di $R^3$ tale che
$f(e1)= -e1$
$f(e2)= -ke1 + ke2 - 4ke3$
$f(e3)= -ke2 + ke3 $
Fondamentalmente ho un problema con gli esercizi con i parametri. Come devo proseguire?
Avevo pensato di costruire la matrice associata procedendo così:
$f(e1)= -(1, 0, 0)$
$f(e2)= -k(1, 0, 0) + k(0, 1, 0) -4k(0, 0, 1) = (-k, k, -4k)$
$f(e3)= -k(0, 1, 0) + k(0, 0, 1) = (0, -k, k)$
e quindi: $[ ( -1 , 0 , 0 ),( -k , k , -4k ),( 0 , -k , k ) ] $
Risposte
In una matrice associata ad una trasformazione lineare, il ker è lo spazio nullo della matrice e l'immagine è lo spazio delle righe della matrice. Attento che nella matrice associata i vettori immagine della base canonica vanno scritti in colonna.
Grazie per la risposta. Quindi dovrebbe essere:
$[ ( -1 , -k , 0 ),( 0 , k , -k ),( 0, -4k , k ) ] $
E per determinare il nucleo risolvo il sistema associato ponendolo uguale a zero?
$ { ( -a-bk=0 ),( bk-ck=0 ),( -4bk+ck=0 ):} $
$[ ( -1 , -k , 0 ),( 0 , k , -k ),( 0, -4k , k ) ] $
E per determinare il nucleo risolvo il sistema associato ponendolo uguale a zero?
$ { ( -a-bk=0 ),( bk-ck=0 ),( -4bk+ck=0 ):} $
Esatto. Per l'immagine ho sbagliato, data la matrice associata, l'immagine corrisponde allo spazio delle colonne della matrice non allo spazio delle righe.
Perfetto. Adesso la parte più difficile è il parametro.
Risolvendo il sistema, ottengo a=b=c=0, come determino la base?
Risolvendo il sistema, ottengo a=b=c=0, come determino la base?
No, aspetta, per prima cosa si fa la matrice di quel sistema:
$((-1,-k,0),(0,k,-k),(0,-4k,k))$
E si riduce a scala con Gauss:
$((-1,-k,0),(0,k,-k),(0,0,3k))$
Questa è la matrice ridotta a scala, vediamo i casi:
Caso 1: $k=0$, la matrice diventa:
$((-1,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
Pertanto per $k=0$ la dimensione del ker è $2$ (perché $2$ sono le variabili non-pivot), l'unica variabile pivot è $a$, e dalla prima equazione risulta $a=0$, pertanto la soluzione generale di quel sistema è $(0,t,w)$ con $t,w in RR$, ponendo $t=0,w=1$ e $t=1,w=0$, si ottiene una base del ker: $(0,1,0)$,$(0,0,1)$ sono pertanto una base di ker per $k=0$
Caso $2$: $k!=0$
In questo caso la matrice è ridotta completamente a scala e pertanto l'unica soluzione del sistema è $a=b=c=0$, ossia il vettore $(0,0,0)$, la dimensione del ker è pertanto zero e $(0,0,0)$ è l'unica base del ker.
$((-1,-k,0),(0,k,-k),(0,-4k,k))$
E si riduce a scala con Gauss:
$((-1,-k,0),(0,k,-k),(0,0,3k))$
Questa è la matrice ridotta a scala, vediamo i casi:
Caso 1: $k=0$, la matrice diventa:
$((-1,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
Pertanto per $k=0$ la dimensione del ker è $2$ (perché $2$ sono le variabili non-pivot), l'unica variabile pivot è $a$, e dalla prima equazione risulta $a=0$, pertanto la soluzione generale di quel sistema è $(0,t,w)$ con $t,w in RR$, ponendo $t=0,w=1$ e $t=1,w=0$, si ottiene una base del ker: $(0,1,0)$,$(0,0,1)$ sono pertanto una base di ker per $k=0$
Caso $2$: $k!=0$
In questo caso la matrice è ridotta completamente a scala e pertanto l'unica soluzione del sistema è $a=b=c=0$, ossia il vettore $(0,0,0)$, la dimensione del ker è pertanto zero e $(0,0,0)$ è l'unica base del ker.
Grazie mille, chiarissimo! Quindi per l'$Im f$ faccio la stessa cosa e distinguo i due casi?
Ottengo per $k = 0$ che lo spazio delle colonne è 1, e quindi $dim(N(T)) + dim(Im(T)) = 2 + 1 = dim(V) $
E per $k!=0$ lo spazio delle colonne è 3, $dim(N(T)) + dim(Im(T)) = 0 + 3 = dim(V) $ ed una sua base dovrebbero essere le colonne stesse... Avrei un dubbio, se la base non fosse canonica?
Ottengo per $k = 0$ che lo spazio delle colonne è 1, e quindi $dim(N(T)) + dim(Im(T)) = 2 + 1 = dim(V) $
E per $k!=0$ lo spazio delle colonne è 3, $dim(N(T)) + dim(Im(T)) = 0 + 3 = dim(V) $ ed una sua base dovrebbero essere le colonne stesse... Avrei un dubbio, se la base non fosse canonica?
Che cosa intendi?
Ops, nulla. Mi sono risposta da sola. Grazie mille per la disponibilità e la chiarezza! 
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