Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Durante la lezione di metodi matematici, mentre ripassavamo il prodotto scalare e ricollegavamo la formula $ ||x+y||^2=||x||^2+||y||^2+2<x,y> $ al teorema del coseno, il professore ci ha fornito di questa formula, dando a noi il compito di dimostrarla:
$ <x,y> =(||x+y||^2-||x-y||^2)/(4) $
Purtroppo non vedo come fare, mi sapete dare una mano?
Data la seguente equazione: $(R^TP_{r})^T SP_{l}=0$ dove $R$ è una matrice di rotazione 3x3 , $S$ è una matrice 3x3 , e $P_l$ e $P_r$ 2 vettori di $R^3$.
Allora vale $(R^TP_{r})^T SP_{l}=0 \Rightarrow P_rRSP_l=0 $. Quale proprietà è stata usata?
Buon giorno , è da varie ore che cerco di risolvere questo esercizio ma non trovo delle vie di sbocco.
L'esercizio è il seguente :
Nello spazio vettoriale R[x] , dire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali :
1) U={p(x) e R[x] | p(0)=0}
2) U={p(x) e R[x] | p(0)=1}
3) U={p(x) e R[x] | p(1)=0}
4) U={p(x) e R[x] | p(0)=p(1)=0}
5) U={p(x) e R[x] | p(0)*p(1)=0}
io so che per essere un insieme un sottospazio deve essere chiuso per la somma , per la moltiplicazione e il ...
Salve a tutti, qualcuno potrebbe spiegarmi come procedere con questo esercizio?
Sia $ U = {A in M3(R) : AB = 0}, dove B = ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 5 , 0 ),( -3 , 0 , 0 ) ). $
a) Dimostrare che U è un sottospazio di M3(R) e calcolarne una base e la dimensione.
b) Completare la base di U a base di M3(R)
Allora, per quanto riguarda il primo punto, se ho capito bene devo dimostrare che U è un sottospazio controllando che sia chiuso rispetto a somma e moltiplicazione per scalare. Quindi moltiplico una generica matrice A 3x3 per B e verifico quanto detto prima. Come ...
Dire (senza dimostrarlo) quale dei seguenti sottoinsiemi è sottospazio e, per quelli che lo sono, scrivere una base.
In che modo posso svolgere questi esercizi? C'è un metodo generale che vale per questa tipologia?
$a) {(1,0),(0,0),(-1,0)}$ in $R2$
$b) {(a,b,0) : a,b in R}$ in $R3$
$c) L{(1,1,2),(2,1,3),(1,0,1)}$ in $R3$
La lettera $L$ indica $Span$
Salve volevo avere qualche suggerimento per una dimostrazione :
Dovrei dimostrare che date due funzioni continue f,g : T--->R (T è uno spazio topologico e R è l'insieme dei reali)
la funzione f*g : T----> R f*g(x) = f(x)*g(x) è continua.
Non so bene come impostare il problema , per il caso c*f con c costante vedevo quella funzione come una composizione ed era semplice ma qui ho qualche problemA... bisognerebbe dimostrare che la funzione R*R---->R che a (x,y) associa x*y è continua e ...
ciao a tutti ieri il mio prof ha spiegato il sottospazio delle matrici simmetriche, ma non sono riuscito a capire molto.. se magari mi potete dare un aiuto sarei molto grato!
ecco l'esempio :
V = {AinM(nxx n)| A=A^t}
devo verificare che è un sottospazio di M(nxx n)
grazie a tutti
Salve a tutti, vi sottopongo una questione che mi accompagna fin dall'inizio dei miei studi universitari Spesso, in geometria ma anche altrove, compare l'aggettivo "canonico" per descrivere delle applicazioni. Per quanto ho capito, questo può avere due significati. Il primo è "naturale", "ovvio"; tale è ad esempio l'epimorfismo canonico tra una struttura algebrica e un suo quoziente, e su questo c'è poco da dire. Il secondo è "indipendente da scelte". In quest'accezione, l'aggettivo si trova ...
Salve sapreste dirmi cosa è una non-zero skew matrix?
Ho molti dubbi, per ora mi limito a esporre il primo: perché i morfismi sono quelli?
Ogniqualvolta si introduce una nuova classe di oggetti matematici si danno delle motivazioni più o meno intuitive dei concetti e delle proprietà che si vogliono formalizzare. Perciò si definiscono i morfismi e gl'isomorfismi in modo tale che queste proprietà siano conservate. Ad esempio, gli omeomorfismi tra spazi topologici sono precisamente le applicazioni che conservano gli aperti (o meglio che inducono ...
Sia $K$ un campo, sia $V!=0$ uno spazio vettoriale su $K$ e sia $f\inEnd_K(V)$.
Voglio dimostrare che se $f$ è iniettivo allora esiste $g\inEnd_K(V)$ tale che $g(f(v))=v$ $AAv\inV$, ovvero che se $f$ è iniettivo allora ammette inverso sinistro in $End_K(V)$.
Se la dimensione di $V$ su $K$ è finita allora il fatto che $f$ sia iniettivo comporta il fatto che ...
aiuto, forse è una domanda stupida ma come si fa a dimostrare questa proposizione?
Sia $Hom(V,W)$ l'insieme delle applicazioni k-lineari da V a W e siano V,W spazi vettoriali. Supponiamo V di dimensione finita e che $B={v_{1},...,v_{n}}$ sia una sua base. dimostrare che l'applicazione $A:Hom(V,W) rarr W^{n}$ t.c. $L |-> A(L)=(L(v_{1}),...,L(v_{n})) $ è un'isomorfismo tra $Hom(V,W)$ e $W_{n}$. in particolare se W ha dimensione finita $dim(Hom(V,W))=(dimV)(dimW)$
Salve non riesco a capire questa proprietà se cosi si può chiamare delle matrici di rotazione, espressa come prodotto matriciale delle basi di due sistemi di riferimento diversi ortogonali.
Vi ringrazio in anticipo per la vostra collaborazione. In particolare quella che non capisco è la 1.8 dell'immagine
E' vero che due forme quadratiche che hanno gli stessi zeri (ovvero gli stessi vettori isotropi) coincidono a meno di una costante moltiplicativa? Se si, come si dimostra?
Buongiorno, so cosa è un ventaglio di spazi, ma sia nel libro che negli appunti viene usato il termine base a ventaglio.. mi sapreste dire la definizione e come si costruisce? Grazie
Ciao ragazzi, vorrei sapere se conosceste qualche libro di Geometria e Algebra lineare I ben fatto, in cui tutto venga spiegato nei minimi dettagli (non fornendo solo semplici definizioni con 2-3 esempi, come quello consigliato dal professore), e con le relative dimostrazioni (anche includendone più di una, dalla più facile alla più difficile). Ovvero, al di fuori di questi casuali esempi, cerco un libro che mi permetta di conoscere approfonditamente e consapevolmente tale materia. Grazie ciao ...
Buona sera a tutti!
Ho urgente bisogno di un aiuto e di una spiegazione per la risoluzione di un sistema lineare finalizzata a ricavare gli autospazi di una matrice.
La matrice è la seguente
$ ( ( 1 , 2 , 1 ),( 0 , 2 , 0 ),( 1 , -2 , 1 ) ) $
Ho calcolato i valori dei due autovalori $ lambda1 $ =0 e $ lambda2 $ =2 dove il primo ha molteplicità algebrica 1 e il secondo 2.
Devo calcolare gli autospazi e gli autovettori, il problema è che non riesco a capire il meccanismo in questo caso dove nel sistema mi ...
Salve a tutti,
stavo sistemando delle dimostrazioni e vorrei chiedervi se più o meno vanno bene.
Quella che al momento mi interessa è molteplicità algebrica = molteplicità geometrica se e solo se esiste una base di autovettori per $C^n$.
Ecco come l'ho impostata (l'ho vista in venti secondi quindi non ne sono sicurissimo)
Parte 1: $m_a(\lambda)=m_g(\lambda), \forall \lambda \Rightarrow \exists$ una base $\mathbb{C}^n$ fatta da autovettori.
Devono essere $n$ LI vettori. Sappiamo che autovettori associati a ...
Salve a tutti, scusate la domanda che, vista la mia ignoranza in materia, potrebbe risultare come una bestemmia al mondo matematico. Data una figura(es. un fiore, un cavallo, ecc) sul piano x,y è possibile ricavarne l'equazione che può generare questa figura?
OK l'ho detto.
Salve a tutti l'esercizio è il seguente
Dato z= $ sqrt(3) +i $
determinare il minimo n ∈ N, non nullo, tale che $ z^n $ ∈ R.
Determinare poi, se esiste, il minimo n ∈ N, non nullo, tale che $ z^n $ sia un numero reale positivo
Volevo sapere se come l'ho risolto sia giusto, io l'ho trasformato in forma trigonometrica e veniva pi greco /6 e in seguito ho cercato per quali esponenti il seno sia 0 e quindi di conseguenza anche la parte immaginaria.
E mi veniva ...
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