Diagonalizzare un endomorfismo
Ho un esercizio che mi chiede di determinare valori di k per cui l'endomorfismo f è diagonalizzabile e per tali valori diagonalizzarlo.
\( (x,y,z)\Longrightarrow (ky+3kz,kx+2y,y-kz) \)
quindi calcolo il polinomio caratteristico
\( \begin{vmatrix} -\lambda & k & 3k \\ k & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -k-\lambda \end{vmatrix} = -\lambda^3+\lambda^2(2-k)+\lambda(k^2+2k)+k^3+3k^2 \)
Teoricamente devo risolvere il polinomio e trovare un \( \lambda \) per cui il polinomio faccia 0 e scomporlo con ruffini.
Praticamente è un casino farlo e mi chiedevo se non ci fosse una strada alternativa per calcolare gli autovalori.
Cioè voglio sapere qual'è l'approccio più semplice in questi casi
\( (x,y,z)\Longrightarrow (ky+3kz,kx+2y,y-kz) \)
quindi calcolo il polinomio caratteristico
\( \begin{vmatrix} -\lambda & k & 3k \\ k & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -k-\lambda \end{vmatrix} = -\lambda^3+\lambda^2(2-k)+\lambda(k^2+2k)+k^3+3k^2 \)
Teoricamente devo risolvere il polinomio e trovare un \( \lambda \) per cui il polinomio faccia 0 e scomporlo con ruffini.
Praticamente è un casino farlo e mi chiedevo se non ci fosse una strada alternativa per calcolare gli autovalori.
Cioè voglio sapere qual'è l'approccio più semplice in questi casi
Risposte
Usando Wolfram Alpha ho trovato solo due candidati valori di $k$ per cui f non è diagonalizzabile, cioè i valori di k che annullano il discriminante del determinante di f, uno è $k=0$, l'altro è completamente inverosimile. Dove hai preso questo esercizio? Sei sicuro del testo?
è un esercizio d'esame di geometria del mio corso di laurea.
Per capire se è davvero così o se è un errore di stampa sarebbe utile contestualizzare l'esercizio, per esempio potresti scrivere il testo esattamente come viene proposto o fare una foto dell'esercizio e allegarla.
Si consideri l'endomorfismo
\( f:R^3\rightarrow R^3 \)
definito da
\( (x,y,z)⟹(ky+3kz,kx+2y,y−kz) \)
\( k\in R \)
Determinare il nucleo e l'immagine di f. Determinare condizoni su k affinchè sia diagonalizzabile e per tali valori diagonalizzare l'endomorfismo.
Ho trovato il kef e l'im
\( \begin{cases} ky+3kz = 0 \\ kx+2y = 0 \\ y-kz = 0 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 0 \end{cases} \)
\( dim(ker(f)) = 0 \)
\( Dim(ker(f)) + Dim(Im(f)) = Dim(R^3) = 3 \Longrightarrow Dim(Im(f)) = 3 \)
poniamo k = 1 e troviamo Im(f)
\( (0,1,0),(1,2,1),(3,0,-1) \)
Ma non credo che cambi molto la situazione.
\( f:R^3\rightarrow R^3 \)
definito da
\( (x,y,z)⟹(ky+3kz,kx+2y,y−kz) \)
\( k\in R \)
Determinare il nucleo e l'immagine di f. Determinare condizoni su k affinchè sia diagonalizzabile e per tali valori diagonalizzare l'endomorfismo.
Ho trovato il kef e l'im
\( \begin{cases} ky+3kz = 0 \\ kx+2y = 0 \\ y-kz = 0 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 0 \end{cases} \)
\( dim(ker(f)) = 0 \)
\( Dim(ker(f)) + Dim(Im(f)) = Dim(R^3) = 3 \Longrightarrow Dim(Im(f)) = 3 \)
poniamo k = 1 e troviamo Im(f)
\( (0,1,0),(1,2,1),(3,0,-1) \)
Ma non credo che cambi molto la situazione.
Se $k=0 $ allora $x=x , y =0 , z =z $ quindi $Dim ker f = 2 $.
Se $ k=-3$ allora $ x= -2z ; y=-3z ; z=z $ e $ ker f =(-2z,-3z, z ) $ e $Dim ker f = 1 $.
Se $ k=-3$ allora $ x= -2z ; y=-3z ; z=z $ e $ ker f =(-2z,-3z, z ) $ e $Dim ker f = 1 $.
e dimImf = 1 con (0,2,1) mi era sfuggita
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo