Quando $g^2$ è isomorfismo

[robbstark1]

Siano $G$ un gruppo abeliano finito, la funzione $\theta : G \rightarrow G$ definita da $\theta(g) = g^2$.
1. Provare che $\theta$ è un omomorfismo.
2. In quali circostanze è un isomorfismo?

La prima parte è molto facile:
$\theta(g_1 g_2) = (g_1 g_2) (g_1 g_2) = g_1(g_2 g_1) g_2 = g_1 (g_1 g_2) g_2 = (g_1 g_1)(g_2 g_2) = \theta(g_1) \theta(g_2)$

Per essere isomorfismo deve anche essere iniettivo e suriettivo. Per questo è sufficiente che i quadrati siano tutti diversi. In dimensione finita, un omomorfismo iniettivo è anche suriettivo.
Tuttavia il testo segnala la seconda domanda come difficile. Cosa c'è che mi sfugge?

[pier.paolo15]

Per quello che hai detto tu, occorre e basta che $ker \ \theta = \{ x \in G \ : \ x^2 = 1 \} = 1$. L'unica osservazione da fare è che per i gruppi abeliani finiti vale l'inverso del teorema di Lagrange: se $d$ divide l'ordine di $G$, esiste un sottogruppo di $G$ di ordine $d$. Quindi, se l'ordine di $G$ è pari, esiste un sottogruppo di $G$ di ordine 2, e quindi un elemento di periodo 2; pertanto $ker \ \theta$ non è identico e e $\theta$ non è un isomorfismo. Se l'ordine di $G$ è dispari, tutti gli elementi diversi da 1 hanno periodo dispari e maggiore di 2, per cui $ker \ \theta = 1$ e $\theta$ è un isomorfismo.

[robbstark1]

Grazie mille, quindi la conclusione del ragionamento se l'ordine di $G$ è pari, $\theta$ non è isomorfismo, se invece è dispari, è certamente isomorfismo.