Generatori di un sottospazio

[Magma1]

Buonasera,
Ho un esercizio che mi chiede di definire i generatori dei seguenti sottoinsiemi di $V:=mathbb (R)[T]_(<=2)$ e determinare quali siano sottospazi:

(1) $W:={f(t)in[mathbb (R)[T]_(<=2) : f(2)-f(3)+f(4)=0}$
(2) $Z:={f(t)in[mathbb (R)[T]_(<=2) : f(2)-f(3)+f(4)=1}$

Io ho svolto in questo modo:

$f(T)=a+bT+cT^2$

$f(2)=a+2b+4c$
$f(3)=a+3b+9c$
$f(4)=a+4b+16c$

per cui $f(T) in W$

$ hArr f(2)-f(3)+f(4)=0 hArr a+2b+4c-a-3b-9c+a+4b+16c=0 hArr a+3b+11c=0 hArr a=-3b-11c$

Quindi

$W={a+bT+cT^2 : a=-3b-11c}={-3b-11c+bT+cT^2 : b,c in mathbb (R)}=[(T-3)b+(11+T^2)c : b,c in mathbb (R)}$

Quindi $W=mathcal (L)(T-3, 11+T^2)$

Mentre il secondo esercizio viene

$Z={1+(T-3)b+(11+T^2)c : b,c in mathbb (R)}$ e $Z=mathcal (L)(1, T-3, 11+T^2)$.

Ora dato che $W$ è sottospazio, mentre $Z$ non lo è, e tra i generatori di $Z$ compare anche $1$; potrei affermare che, quando tra i generatori di uno sottoinsieme polinomiale compare anche $1$, allora quel sottoinsieme non è sottospazio?

EDIT: cioè il generatore $1$ può essere collegato alla comparsa del termine noto?

[quantunquemente]

ma scusa, in uno spazio vettoriale,il concetto di sistema di generatori ha senso solo per i sottospazi
comunque,è ovvio che qualsiasi vettore può far parte di un sistema di generatori di un sottospazio
es : il sottospazio generato da $1$ e $T$ è l'insieme dei polinomi del tipo $a+bT$

[Magma1]

"quantunquemente":il concetto di sistema di generatori ha senso solo per i sottospazi

Però $Z$ non è sottospazio e a me sembrerebbe che sia generato da $ {1, T-3, 11+T^2} $, o sbaglio?

"quantunquemente":comunque,è ovvio che qualsiasi vettore può far parte di un sistema di generatori di un sottospazio
es : il sottospazio generato da $1$ e $T$ è l'insieme dei polinomi del tipo $a+bT$

Sì, sì! Il mio dubbio non era se $1$ potesse far parte dell'insieme di generatori, ma se la sua presenza potesse avere a che fare con la comparsa del termine noto (diverso da zero): impedendo, così, al sottoinsieme di essere sottospazio.

[quantunquemente]

la questione è questa : se prendi quelli che tu chiami 2 "generatori" f e g di Z,f+g non ti dà un elemento di Z
per questo non ha senso parlare di generatori per un insieme che non sia un sottospazio