$f=a^n$ su gruppo abeliano
Ho trovato questo esercizio, che è interessante in alcuni punti, ma non sono certo di avere colto per bene tutto ciò che dovrei.
Dato un gruppo $A$ abeliano, si consideri la funzione $f_n(a) = a^n$.
1) Dimostrare che $f_n$ è un omomorfismo.
2) Descrivere gli elementi di $ker(f_n)$ e $im(f_n)$.
3) Dare un esempio di gruppo non abeliano $G$ e un intero positivo $n$ per i quali $f_n = g^n$ non è un omomorfismo.
4) Dato un gruppo non abeliano $G$, ci sono valori di $n$ per cui $f_n$ è un omomorfismo?
1) Banale: $f_n(ab) = (ab)^n = abababab....ab = a^n b^n = f_n(a) f_n(b)$
2) Gli elementi di $ker(f_n)$ sono tutti quelli che hanno come ordine un divisore di $n$.
Per quanto riguarda $im(f_n)$, questa varia caso per caso. Per esempio, in $(CC*, \times)$, $im(f_n) = CC*$, poichè ciascun numero complesso ammette $n$ radici n-esime. Se $A$ è un gruppo di ordine $4$ ed $n=2$, l'immagine si restringe a 2 elementi nel caso del gruppo ciclico, alla sola unità nel caso del gruppo di Klein. Se $n$ non è un divisore dell'ordine del gruppo, nel caso di gruppi ciclici, direi che $im(f_n) = A$.
Cosa potrei dire in generale sull'immagine?
3) Provo col più piccolo gruppo non abeliano, $Dih(6)$, dove con $\alpha^i$ indico le rotazioni e $\beta$ la riflessione, ed $n=2$.
$f(\alpha \beta) = (\alpha \beta)^2 = \alpha \beta \alpha \beta = \alpha \alpha^{-1} \beta \beta = 1$
$f(\alpha) f(\beta) = \alpha^2 \beta^2 = \alpha^2 != 1$
Dunque in questo caso $f$ non è omomorfismo.
4) Mi verrebbe da dire che $f_n$ è sempre omomorfismo se $n$ è un multiplo comune a tutti gli ordini degli elementi di $G$.
Ma è questa l'unica possibilità?
Dato un gruppo $A$ abeliano, si consideri la funzione $f_n(a) = a^n$.
1) Dimostrare che $f_n$ è un omomorfismo.
2) Descrivere gli elementi di $ker(f_n)$ e $im(f_n)$.
3) Dare un esempio di gruppo non abeliano $G$ e un intero positivo $n$ per i quali $f_n = g^n$ non è un omomorfismo.
4) Dato un gruppo non abeliano $G$, ci sono valori di $n$ per cui $f_n$ è un omomorfismo?
1) Banale: $f_n(ab) = (ab)^n = abababab....ab = a^n b^n = f_n(a) f_n(b)$
2) Gli elementi di $ker(f_n)$ sono tutti quelli che hanno come ordine un divisore di $n$.
Per quanto riguarda $im(f_n)$, questa varia caso per caso. Per esempio, in $(CC*, \times)$, $im(f_n) = CC*$, poichè ciascun numero complesso ammette $n$ radici n-esime. Se $A$ è un gruppo di ordine $4$ ed $n=2$, l'immagine si restringe a 2 elementi nel caso del gruppo ciclico, alla sola unità nel caso del gruppo di Klein. Se $n$ non è un divisore dell'ordine del gruppo, nel caso di gruppi ciclici, direi che $im(f_n) = A$.
Cosa potrei dire in generale sull'immagine?
3) Provo col più piccolo gruppo non abeliano, $Dih(6)$, dove con $\alpha^i$ indico le rotazioni e $\beta$ la riflessione, ed $n=2$.
$f(\alpha \beta) = (\alpha \beta)^2 = \alpha \beta \alpha \beta = \alpha \alpha^{-1} \beta \beta = 1$
$f(\alpha) f(\beta) = \alpha^2 \beta^2 = \alpha^2 != 1$
Dunque in questo caso $f$ non è omomorfismo.
4) Mi verrebbe da dire che $f_n$ è sempre omomorfismo se $n$ è un multiplo comune a tutti gli ordini degli elementi di $G$.
Ma è questa l'unica possibilità?
Risposte
Il motivo per cui non ti risponde nessuno è che hai postato nella sezione sbagliata 
la prossima volta puoi postare nella sezione di Algebra.
Le tue risposte vanno bene, anche la 2 va bene, $Im(f_n)$ consiste semplicemente di tutte le potenze $n$-esime.
Quanto alla 4, è una domanda molto generale e la risposta è sì, esistono $n$ tali che $f_n$ è un omomorfismo, uno è quello che hai detto tu, un altro è banalmente l'elevamento alla 3 per il gruppo Dih(6), altri esempi sono alcune classi di p-gruppi finiti di classe di nilpotenza 2 (se un p-gruppo finito $G$ ha classe di nilpotenza $2$, con $p$ primo dispari, e il sottogruppo derivato $G'$ ha esponente $p$ allora l'elevamento alla $p$ è un omomorfismo $G \to G$).
la prossima volta puoi postare nella sezione di Algebra.Le tue risposte vanno bene, anche la 2 va bene, $Im(f_n)$ consiste semplicemente di tutte le potenze $n$-esime.
Quanto alla 4, è una domanda molto generale e la risposta è sì, esistono $n$ tali che $f_n$ è un omomorfismo, uno è quello che hai detto tu, un altro è banalmente l'elevamento alla 3 per il gruppo Dih(6), altri esempi sono alcune classi di p-gruppi finiti di classe di nilpotenza 2 (se un p-gruppo finito $G$ ha classe di nilpotenza $2$, con $p$ primo dispari, e il sottogruppo derivato $G'$ ha esponente $p$ allora l'elevamento alla $p$ è un omomorfismo $G \to G$).
Grazie per le conferme e gli esempi.
Ok, la prossima volta posterò in Algebra.
Ok, la prossima volta posterò in Algebra.
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