Autovalori di somma tra una matrice e la matrice identica

[nikilito.0]

Salve a tutti.
Sono nuovo del forum quindi spero di non fare troppe violazioni. Perdonatemi.

Mi viene chiesto di dimostrare che se $ A $ è una matrice $n$ $xx$ $n$ e ha autovalori ${$ $ lambda_1,lambda_2,...lambda_n $ $}$ , allora in generale la matrice $ (alpha I + A) $ ha autovalori ${$ $ lambda_1+alpha,lambda_2+alpha,...lambda_n+alpha $ $}$.

Diciamo che ho provato a risolverlo in questo modo ma non ne vengo fuori con una dimostrazione molto "logica e lineare".

$ det(A-lambda'I)=p_1(lambda') $ quindi ottengo il polinomio caratteristico della matrice A.

Ora mi viene in mente di calcolare il polinomio caratteristico della matrice $ alphaI+A $ e vedere in che relazione sono i due polinomi:

$ det((alphaI+ A)-lambda''I)=p_2(lambda'') $

e raccogliendo $ I $ diventa:
$ det(A+(alpha-lambda'')I)=p_2(lambda'') $

Ho indicato i $lambda $ con gli apici per distinguerli essendo che sono di due polinomi diversi.

Penso: eguagliamo $-lambda' = alpha-lambda'' $ così da mettere in relazione le diverse radici. Ricavo che :

$lambda''=alpha+lambda'$

e questo vale per ogni $lambda$.

La mia domanda a questo punto è: potrebbe essere una dimostrazione sensata ?
Sicuramente c'è una via più facile..e per questo ho scritto a voi !

Ringrazio e spero in una dimostrazione più logica e intuitiva..

[armandi1]

denoto con lambda_i=L un autovalore e alpha=a. moltiplico l 'espressione (aI+A) per v a destra, dove v è l' autovettore di A corrispondente a L. ottieni aIv+Av=av+Lv=(a+L)v . Quindi hai ottenuto che (aI+A)v=(a+L)v ,ossia la matrice (aI+A) ha gli stessi autovettori di A e ha come autovalori (a+L)