Base ker e immagine al variare del parametro

[simone.sergi.3]

ciao a tutti frequento il politecnico di milano, facoltà di ingegneria elettrica, e tra pochi giorni ho l'esame di analisi1 che sarà principalmente incentrato su algebra lineare.
sto facendo un po' di esercizi ma ho qualche dubbio ...
Testo dell'esercizio:
Data l’applicazione lineare T : $R^3$ →$ R^3$ la cui matrice, rispetto alle base canonica di $R^3$ , è:
A=$((3,2,1),(-3,-2,h+1),(6,4,2))$
determinare una base di nucleo e immagine di T al variare di h in R;

la mia esecuzione:
se $h=-2$ allora $rk(A) = dim(im)= 1$ $=>$ una base dell'immagine è $(3,-3,6)$
per il ker invece :
$dim(ker)= dim(V) - Dim(im) = 2$

quindi essendo il rango della matrice = 1 prendo la prima riga della matrice e risolvendo $Ax=0$ :
$3x+2y+z=0$ per il teorema di rouchè capelli la soluzione dipende da : $n-rk(A)=2$ parametri.
io ho tenuto x come incognita e y,z come parametri ottenendo :
$x=-2/3y-1/3z$
con relativa base del ker $(-2,3,0);(-1,0,3)$

il prof nella correzione di questo esercizio ha usato x e y come parametri e z come incognita da trovare....(base del ker che ha trovato lui $(1,0,-3);(0,1,-2)$)
cosa cambia ?
è giusta anche la mia risoluzione oppure ho scelto i parametri in modo errato?
grazie

[donald_zeka]

Il prof. ha fatto così perché semplicemente $z$ ha come coefficiente $1$. Comunque non mi sembra che tu abbia risolto del tutto l'esercizio.

[simone.sergi.3]

lo so che l'esercizio non è completo !
ho riscritto qui solo la parte su cui avevo il dubbio .
quindi posso scegliere io quali incognite far diventare variabili ?
per assurdo ... avrei potuto scegliere y come incognita e x,z come parametri?

[donald_zeka]

Si, in teoria si, ma a parte casi speciali come questo, è sempre conveniente scegliere come variabili fisse le variabili pivot della matrice ridotta con Gauss

[simone.sergi.3]

perfetto grazie mille !