Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buongiorno
perché il prodotto di un vettore riga per un vettore colonna non è commutativo?
Grazie mille
Buongiorno, mi è venuto qualche dubbio ma cercando nei libri e online non ho trovato risposta.
Ipotizzando di avere una matrice (ad esempio come quella in figura), c'è un modo per sapere quante "diagonali" ci sono?
C'è un teorema o altro?
(matrice n x m)
Io ho provato a pensare a qualcosa come n*m sommato a qualcosa ma proprio ad occhio..
Inoltre, quanti elementi ci sono in ogni diagonale?
Ho provato a pensare che partendo da un lato o dall'altro ad un certo punto si arriverà ad avere ...
Salve a tutti, ho un grosso dubbio che sto cercando di risolvere da giorni ma non riesco a trovare una soluzione.
Non riesco a capire quando e come la geometria si è legata con la teoria degli insiemi a tal punto da utilizzare le stesse notazioni (appartenenza, intersezione, unione, ...) e da parlare di "funzioni tra insiemi di punti" (le trasformazioni geometriche).
Mi spiego meglio.
Con gli assiomi di Hilbert i concetti primitivi quali punti, rette e piani risultano avere una natura ...
Buongiorno, vorrei sapere come dimostrare il teorema che afferma che la matrice di $m$ equazioni in $n$ incognite è isomorfa all'applicazione lineare da $R^n$ $rarr$ $R^m$. In particolare la dimensione dell'applicazione lineare è uguale al prodotto di $n * m$.
Salve vorrei un' opinione su come ho svolto l'esercizio:
Scrivere le equazioni parametriche della generica retta di \(\displaystyle E^3 \) ortogonale al piano \(\displaystyle x − y − 3z = 1 \)
Dalla teoria conosco che i coefficienti di \(\displaystyle x,y,z \) formano un vettore \(\displaystyle (a,b,c) \) perpendicolare al piano. Allora la mia generica equazione della retta è:
$\{(x = x_0 + t),(y = y_0 - t),(z = z_0 - 3t):}$
È giusto come ragionamento ?
Grazie =)
sia f:R^3-->R^3 l' applicazione lineare che trasforma ordinatamente i vettori (1,0,0) ,(0,1,0),(0,0,1) nei vettori (1,1,0), (1,-1,1),(2,0,1). Scriverne l' espressione analitica di f: per ogni (x,y,z) appartenenti ad R^3.
f(x,y,z)= ????
Buonasera,
sono Antonio e lavoro in un azienda aeronautica, devo analizzare dei report e non riesco a calcolare con Excel
la distanza minina tra due rette.
Avendo due segmenti: AB con coordinate (Xa, Ya, Za) e (Xb, Yb, Zb) e il segmento CD con coordinate (Xc, Yc, Zc) e (Xd, Yd, Zc), vorrei creare un foglio in excel che al variare delle coordinate mi dia la distanza minima di esse e l'angolo.
Per l'angolo riesco a sviluppare la classica formula utilizzando i parametri direttori, ma per quando ...
Ho un esercizio sugli spazi vettoriali.
Ho svolto alcuni dei passaggi, ma non riesco a fare tutto
a) Dati i sottospazi vettoriali, determinare una base di ognuno, la rappresentazione cartesiana di V e una base della loro intersezione.
$V= <(1,0,-2,0,1);(0,1,0,-1,0),(0,1,-1,-1,3), (-1, 0, 1 ,0,2)>$
$W=<(x_1+3x_3-x_5=x_2-2x_3+x4_+x_5=0 con x_i € R^5)>$
b) Determinare per quali valori di h il vettore $(1,2,h,-2,1)$ appartiene al sottospazio V.
Per il punto a) ho proceduto in questo modo:
- ho ridotto a scalini la matrice le cui righe sono i vettori di V.
Ho ottenuto ...
Salve ragazzi, ho questo esercizio che non riesco a capire, ecco il testo:
Si consideri una retta r ortogonale al piano $\pi: 2x + y - z + 2 = 0 $ e passante per il punto P(0,0,1).
Determinare equazioni cartesiane della retta s passante per l'origine, incidente r ed ortogonale ad essa.
Ecco come l'ho risolto:
Innanzitutto trovare la retta r è un gioco da ragazzi, basta unire il vettore del piano e il punto:
$ r: {(x = 2t), (y = t), (z = 1 - t) :}$
Da queste equazioni ricaviamo t = 1 -z e la sostituiamo alle altre ...
Salve a tutti.
Ho delle funzioni, $ sin^3x,cos^3x,sin^4x,cos^4x $, le quali le devo esprimere come combinazione lineare del polinomio $ P={1,sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),sin(3x),cos(3x)} $ e del Polinomio con $Q={1,sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),sin(3x),cos(3x), sin(4x),cos(4x)}$
Ora io non saprei come fare. Mi sono semplicemente limitato a riscrivere ad esempio $cos^3x$ attraverso Werner e formule di duplicazione. Ma alla fine è ovvio che mi esce di nuovo $cos^3x$ e oltre questo non so più che fare. Mi potete aiutare?
$cos^3x=cos(x)*[cos(x)^2]=cos(x)cos(x)cos(x)=cos(x)*1/2(cos(x+x))=cos(x)*1/2[cos(2x)]=cos(x)*1/2(cos^2(x)-sin^2(x))=1/2[cos^3(x)-cos(x)+cos^3x]=1/2[2cos^3x-cos(x)]$. Comunque non sono sicurissimo del ...
Salve a tutti!
Durante un esercizio di geometria mi sono imbattuto in questo teorema, di cui non conosco il nome né la dimostrazione (per ora non riesco a trovarla):
\(\displaystyle a_1, a_2, a_3, ..., a_n \in U = \subseteq \mathbb{R}^m\)
se \(\displaystyle \forall u \) generatore di \(\displaystyle U \) si ha:
\(\displaystyle a_1 \cdot u = a_2 \cdot u = a_3 \cdot u = ... = a_n \cdot u \)
allora \(\displaystyle a_1 \equiv a_2 \equiv a_3 \equiv ... \equiv a_n \)
Ho ...
Scusate il problema sciocco, ma non riesco a dimostrare che due atlanti compatibili inducono la stessa topologia.
Un atlante \(\displaystyle \mathcal{A} = \{ (U_{\alpha}, \phi_{\alpha}) \}\) su un insieme \(\displaystyle M \) induce una topologia su questo insieme nel senso che \(\displaystyle A \subset M \) è aperto se e solo se \(\displaystyle \phi_{\alpha} (A \cap U_{\alpha}) \) è un aperto di \(\displaystyle \Bbb R^n \) per ogni carta nell'atlante.
Dovrei dimostrare che se ho un altro ...
salve a tutti. Ho un problema con la definizione di vettore tangente ad una vatietá, data in una dispensa che sto seguendo. La definizione credo sia chiara, ma non riesco ad applicarla:
Sia $\tau(\R)$ l'algebra delle funzioni di classe $c^1$ in un intorno p della varietà M. Sia $\gamma(t)$ una curva su M definita in un intervallo reale tale che $\gamma(t_0)=p$. Un vettore tangente alla varietá nel punto p è : $frac{df(\gamma(t))}{dt}$ valutata in $t_0$. In parole ...
Buonasera vorrei per favore fugare dei dubbi sulle progressioni geometriche;
sul web ci sono tante formule ma ancora non capisco quale sia la formula corretta. Perché la ragione della progressione geometrica $q$ equivale a $(C(n))/(C(n-1))$?Con $C$ si intende un capitale investito a un tasso fisso di interesse annuo. Come si fa a sapere quando occorre adoperare la progressione geometrica piuttosto che l'aritmetica? Scusate l'ignoranza, grazie mille
Salve a tutti, vorrei una conferma su un esercizio che sto svolgendo.
Traccia: Scrivere una terna di numeri direttori di una retta di \(\displaystyle E^3 \) ortogonale alla retta
\(\displaystyle r: \) $\{(x + y + z = 2),(x + y = 3):}$ e parallela al piano $\pi$ \(\displaystyle : x + y + z = 2 \)
Mio svolgimento:
trovo l'equazione parametrica della retta \(\displaystyle r \): $\{(x = 3 - t),(y = t),(z = -1):}$
ora so che la retta \(\displaystyle r \) passa per il punto \(\displaystyle P(3,0,-1) \)
Il vettore ...
Salve a tutti, vi scrivo per chiedervi aiuto riguardo ad una questione sugli elementi principali della geometria ossia, su che cosa sia la:" giacitura di un piano" senza però riferirsi agli spazi vettoriali.
La mia questione, riguarda il fatto di cercare di capire cosa significhi ad esempio la frase:" I piani si distinguono per una diversa giacitura e quelle fondamentali sono: quella orizzontale e verticale. Piani paralleli hanno la stessa giacitura." come posso visualizzare nella mia mente la ...
Salve a tutti, l'esercizio mi chiede di scrivere le equazioni nella base naturale dei seguenti sottospazi di $RR$\(\displaystyle ^4 \):
\(\displaystyle V=[(1,1,0,-1),(0,0,1,0),(1,0,1,0)] \)
Allora ho riscritto i vettori in una matrice \(\displaystyle A \) e l'ho ridotta a gradini:
$|(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(-1,0,0)|$ Che ridotta diventa: $|(1,0,1),(0,1,1),(0,0,-1),(0,0,0)|$
Quindi, se ho fatto tutto bene, l matrice ora ha 3 pivot e quindi il suo rango \(\displaystyle rg(A) = 3 \). Allora 3 vettori sono linearmente ...
Salve a tutti ragazzi, sono nuovo del forum. Sono seriamente in crisi con la definizione di autovettore: sul libro e in giro su internet c'è scritto che è un autovettore rispetto a un'operatore lineare f: V --> V un vettore di uno spazio V sul campo K se esiste un l appartentente a K tale che f(v)=lv. Poi dice, sul libro, che " la condizione che deve soddisfare un vettore non nullo v per essere un autovettore di f si scrive Av =lv" dove A è la matrice rappresentativa di f rispetto a una ...
Salve,
volevo chiedere un chiarimento sui sistema di generatori e base di uno spazio vettoriale. È da poco che studio questi argomenti e sono in uno stato abbastanza confusionale, quindi chiedo venia in anticipo se farò delle sparate assurde.
Da quanto ho appreso la base di uno spazio vettoriale è un sistema di generatori di V ed è composto da vettori linearmente indipendenti, e questi vettori sono k cioè la dimensione di V (Esempio: R^3 avrà la base composta da 3 vettori linearmente ...
Salve a tutti, io so che il prodotto vettoriale è fondamentale per il parallelismo, perché se questo è uguale a zero significa che i due vettori sono paralleli, però so anche che due vettori sono paralleli se le componenti di uno sono "multipli" delle componenti dell'altro. Quindi mi domandavo quale dei due procedimenti è preferibile e se equivalgono.
Per esempio dati i vettori u=(3,t,-2t) e w=(t+1, 1, 3) esistono dei valori di t per cui sono paralleli? A me risulta di no, sbaglio?
Un'altra ...
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