Combinazione lineare con funzioni trigonometriche
Salve a tutti.
Ho delle funzioni, $ sin^3x,cos^3x,sin^4x,cos^4x $, le quali le devo esprimere come combinazione lineare del polinomio $ P={1,sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),sin(3x),cos(3x)} $ e del Polinomio con $Q={1,sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),sin(3x),cos(3x), sin(4x),cos(4x)}$
Ora io non saprei come fare. Mi sono semplicemente limitato a riscrivere ad esempio $cos^3x$ attraverso Werner e formule di duplicazione. Ma alla fine è ovvio che mi esce di nuovo $cos^3x$ e oltre questo non so più che fare. Mi potete aiutare?
$cos^3x=cos(x)*[cos(x)^2]=cos(x)cos(x)cos(x)=cos(x)*1/2(cos(x+x))=cos(x)*1/2[cos(2x)]=cos(x)*1/2(cos^2(x)-sin^2(x))=1/2[cos^3(x)-cos(x)+cos^3x]=1/2[2cos^3x-cos(x)]$. Comunque non sono sicurissimo del risultato perché ricordo che c'era un tre quarti da qualche parte ma non lo trovo.
Ho delle funzioni, $ sin^3x,cos^3x,sin^4x,cos^4x $, le quali le devo esprimere come combinazione lineare del polinomio $ P={1,sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),sin(3x),cos(3x)} $ e del Polinomio con $Q={1,sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),sin(3x),cos(3x), sin(4x),cos(4x)}$
Ora io non saprei come fare. Mi sono semplicemente limitato a riscrivere ad esempio $cos^3x$ attraverso Werner e formule di duplicazione. Ma alla fine è ovvio che mi esce di nuovo $cos^3x$ e oltre questo non so più che fare. Mi potete aiutare?
$cos^3x=cos(x)*[cos(x)^2]=cos(x)cos(x)cos(x)=cos(x)*1/2(cos(x+x))=cos(x)*1/2[cos(2x)]=cos(x)*1/2(cos^2(x)-sin^2(x))=1/2[cos^3(x)-cos(x)+cos^3x]=1/2[2cos^3x-cos(x)]$. Comunque non sono sicurissimo del risultato perché ricordo che c'era un tre quarti da qualche parte ma non lo trovo.
Risposte
Ti conviene partire al contrario, cioè provare a scrivere $cos(3x)$ e gli altri termini e vedere che cosa esce fuori. Visto che $cos(2x)$ è espresso in termini di $cos x$ e $sin x$ al quadrato, è molto probabile che in $cos(3x)$ compaia un cubo.
$cos(3x) = cos(2x+x)= ... = 4 cos^3 x - 3 cos x$ e quindi $cos^3 x = \frac{cos(3x) + 3cos x}{4}$
Potrei aver fatto qualche errore di conto, quindi ricontrolla. Prova poi a scrivere gli altri
$cos(3x) = cos(2x+x)= ... = 4 cos^3 x - 3 cos x$ e quindi $cos^3 x = \frac{cos(3x) + 3cos x}{4}$
Potrei aver fatto qualche errore di conto, quindi ricontrolla. Prova poi a scrivere gli altri
Ma quello che mi interessa sapere è: l'ultimo risultato che hai scritto, assumendo su ogni possibilità che è giusto, è una combinazione lineare di tutte le altre componenti? A me sembra ovvio ma non vorrei sbagliarmi. Comunque ora vedo un po' che fare con $cos(3x)$.
Quindi $cos(3x)=cos(2x+x)=cos(2x)cos(x)-sen(2x)sen(x)=(cos^2x-sin^2x)cos(x)-(2sin(x)cos(x)sin(x))=cos^3x-cos(x)sin^2x-2(sin^2x)cos(x)$
E ora devo esprireme tutto in coseno al cubo? E questa sarebbe la mia combinazione lineare?
Quindi $cos(3x)=cos(2x+x)=cos(2x)cos(x)-sen(2x)sen(x)=(cos^2x-sin^2x)cos(x)-(2sin(x)cos(x)sin(x))=cos^3x-cos(x)sin^2x-2(sin^2x)cos(x)$
E ora devo esprireme tutto in coseno al cubo? E questa sarebbe la mia combinazione lineare?
Certo che lo è. E' una combinazione di $cos x$ e $cos(3x)$ con coefficienti $\frac{3}{4}$ e $\frac{1}{4}$ rispettivamente. Gli altri termini hanno coefficiente $0$.
Per quanto riguarda i passaggi, ora ti conviene usare che $sin^2 x = 1 - cos^2 x$. Dopodiché esprimi $cos^3 x$ in funzione degli altri pezzi, come ho fatto sopra.
Per quanto riguarda i passaggi, ora ti conviene usare che $sin^2 x = 1 - cos^2 x$. Dopodiché esprimi $cos^3 x$ in funzione degli altri pezzi, come ho fatto sopra.
Poi quando faccio $cos^3x=...$ ho finito?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo