Teorema uguaglianza tra vettori di un sottospazio
Salve a tutti!
Durante un esercizio di geometria mi sono imbattuto in questo teorema, di cui non conosco il nome né la dimostrazione (per ora non riesco a trovarla):
\(\displaystyle a_1, a_2, a_3, ..., a_n \in U = \subseteq \mathbb{R}^m\)
se \(\displaystyle \forall u \) generatore di \(\displaystyle U \) si ha:
\(\displaystyle a_1 \cdot u = a_2 \cdot u = a_3 \cdot u = ... = a_n \cdot u \)
allora \(\displaystyle a_1 \equiv a_2 \equiv a_3 \equiv ... \equiv a_n \)
Ho provato a dimostrarlo: allego a questo post il mio tentativo.
Le mie domande sono: esiste una dimostrazione più semplice? In ogni caso, il mio tentativo a dimostrarlo funziona?
Da un lato ho l'orribile sensazione di aver perso tempo, e dall'altro di aver perso tempo sbagliando. Help pls!
Qui di seguito la mia dimostrazione fatta molto a caso
Supponiamo che \(\displaystyle n \leq m \) e che i vettori \(\displaystyle a_1, ... a_n \) siano tutti linearmente indipendenti.
Se infatti fossero tutti dipendenti tra loro il teorema sarebbe banalmente dimostrato, in quanto ogni vettore sarebbe pari ad uno scalare moltiplicato per il primo vettore
\(\displaystyle a_n = \lambda_n a_1 \)
e noi sappiamo che
\(\displaystyle a_n \cdot u_1 = a_1 \cdot u_1 \)
da cui \(\displaystyle \lambda_n a_1 \cdot u_1 = a_1 \cdot u_1 \Rightarrow \lambda_n = 1 \Rightarrow a_n = a_1 \)
I vettori non possono poi essere tutti linearmente indipendenti con \(\displaystyle n > m \): in tal caso li potremmo considerare come base di un sottospazio più grande del sottospazio U, ma abbiamo detto che i vettori sono contenuti in U.
Perciò il caso interessante è quello in cui vi sono \(\displaystyle n \leq m \) vettori tra loro indipendenti. Possono esservi altri vettori come loro combinazione lineare, ma una volta dimostrato che quelli indipendenti sono uguali tra loro si può attuare una dimostrazione analoga al caso già visto in cui i vettori siano tutti dipendenti.
Ora, dato che \(\displaystyle a_1, a_2, ..., a_n \) sono linearmente indipendenti e \(\displaystyle n \leq m \) si ha che il sottospazio generato \(\displaystyle \subseteq U \). Per cui posso considerare come generatori di U anche i vettori \(\displaystyle a_1, a_2, ..., a_n \) senza cambiare nulla.
Sappiamo che il prodotto scalare tra ogni vettore e un generatore di U è lo stesso, perciò, considerando come generatori di U anche i vettori stessi si ha:
\(\displaystyle a_1 \cdot a_1 = a_2 \cdot a_1 = ... = a_n \cdot a_1 \)
\(\displaystyle a_1 \cdot a_2 = a_2 \cdot a_2 = ... = a_n \cdot a_2 \)
\(\displaystyle a_1 \cdot a_n = a_2 \cdot a_n = ... = a_n \cdot a_n \)
Da cui ricavo che il prodotto scalare tra ogni vettore a è uguale, così come sono uguali le loro norme:
\(\displaystyle a_1 \cdot a_2 = a_2 \cdot a_3 = a_1 \cdot a_3 ... = ||a_1||^2 = ||a_2||^2 ... \)
Insomma: \(\displaystyle ||a_i||^2 = ||a_j||^2 = a_i \cdot a_j \) con \(\displaystyle 1 \leq i \leq n \) e \(\displaystyle 1 \leq j \leq n \)
Ora, per proprietà della norma sappiamo che \(\displaystyle ||a_i - a_j||^2 \geq 0 \) e l'uguaglianza si ha se e solo se \(\displaystyle a_i \equiv a_j \)
\(\displaystyle ||a_i - a_j||^2 = ||a_i||^2 + ||a_j||^2 -2a_i \cdot a_j \)
Ma dall'uguaglianza trovata prima abbiamo che \(\displaystyle ||a_i - a_j||^2 = 0 \) e quindi che \(\displaystyle a_i \equiv a_j \)
Durante un esercizio di geometria mi sono imbattuto in questo teorema, di cui non conosco il nome né la dimostrazione (per ora non riesco a trovarla):
\(\displaystyle a_1, a_2, a_3, ..., a_n \in U =
se \(\displaystyle \forall u \) generatore di \(\displaystyle U \) si ha:
\(\displaystyle a_1 \cdot u = a_2 \cdot u = a_3 \cdot u = ... = a_n \cdot u \)
allora \(\displaystyle a_1 \equiv a_2 \equiv a_3 \equiv ... \equiv a_n \)
Ho provato a dimostrarlo: allego a questo post il mio tentativo.
Le mie domande sono: esiste una dimostrazione più semplice? In ogni caso, il mio tentativo a dimostrarlo funziona?
Da un lato ho l'orribile sensazione di aver perso tempo, e dall'altro di aver perso tempo sbagliando. Help pls!
Qui di seguito la mia dimostrazione fatta molto a caso
Supponiamo che \(\displaystyle n \leq m \) e che i vettori \(\displaystyle a_1, ... a_n \) siano tutti linearmente indipendenti.
Se infatti fossero tutti dipendenti tra loro il teorema sarebbe banalmente dimostrato, in quanto ogni vettore sarebbe pari ad uno scalare moltiplicato per il primo vettore
\(\displaystyle a_n = \lambda_n a_1 \)
e noi sappiamo che
\(\displaystyle a_n \cdot u_1 = a_1 \cdot u_1 \)
da cui \(\displaystyle \lambda_n a_1 \cdot u_1 = a_1 \cdot u_1 \Rightarrow \lambda_n = 1 \Rightarrow a_n = a_1 \)
I vettori non possono poi essere tutti linearmente indipendenti con \(\displaystyle n > m \): in tal caso li potremmo considerare come base di un sottospazio più grande del sottospazio U, ma abbiamo detto che i vettori sono contenuti in U.
Perciò il caso interessante è quello in cui vi sono \(\displaystyle n \leq m \) vettori tra loro indipendenti. Possono esservi altri vettori come loro combinazione lineare, ma una volta dimostrato che quelli indipendenti sono uguali tra loro si può attuare una dimostrazione analoga al caso già visto in cui i vettori siano tutti dipendenti.
Ora, dato che \(\displaystyle a_1, a_2, ..., a_n \) sono linearmente indipendenti e \(\displaystyle n \leq m \) si ha che il sottospazio generato \(\displaystyle
Sappiamo che il prodotto scalare tra ogni vettore e un generatore di U è lo stesso, perciò, considerando come generatori di U anche i vettori stessi si ha:
\(\displaystyle a_1 \cdot a_1 = a_2 \cdot a_1 = ... = a_n \cdot a_1 \)
\(\displaystyle a_1 \cdot a_2 = a_2 \cdot a_2 = ... = a_n \cdot a_2 \)
\(\displaystyle a_1 \cdot a_n = a_2 \cdot a_n = ... = a_n \cdot a_n \)
Da cui ricavo che il prodotto scalare tra ogni vettore a è uguale, così come sono uguali le loro norme:
\(\displaystyle a_1 \cdot a_2 = a_2 \cdot a_3 = a_1 \cdot a_3 ... = ||a_1||^2 = ||a_2||^2 ... \)
Insomma: \(\displaystyle ||a_i||^2 = ||a_j||^2 = a_i \cdot a_j \) con \(\displaystyle 1 \leq i \leq n \) e \(\displaystyle 1 \leq j \leq n \)
Ora, per proprietà della norma sappiamo che \(\displaystyle ||a_i - a_j||^2 \geq 0 \) e l'uguaglianza si ha se e solo se \(\displaystyle a_i \equiv a_j \)
\(\displaystyle ||a_i - a_j||^2 = ||a_i||^2 + ||a_j||^2 -2a_i \cdot a_j \)
Ma dall'uguaglianza trovata prima abbiamo che \(\displaystyle ||a_i - a_j||^2 = 0 \) e quindi che \(\displaystyle a_i \equiv a_j \)
Risposte
Ehm, la tua dimostrazione non l'ho letta tutta, però mi sembra che già all'inizio sia sbagliata.
Io ti suggerisco un'altra strada. Innanzitutto noti che puoi supporre i vettori $u_1,\ldots,u_m$ linearmente indipendenti. Se così non fosse ne estrai una base e butti via quelli che avanzano. Poi osservi che oltre a poterli supporre linearmente indipendenti, puoi anche supporli ortonormali, altrimenti li ortonormalizzi con Gram-Schmidt, e dimostri che una volta ortonormalizzati si ha ancora che $a_i\cdot u=a_j\cdot u$ per ogni $i,j$ e per ogni $u$ (ora i vettori $u$ sono quelli ortonormalizzati).
Infine scrivi $a_k = \alpha_{1k}u_1 + \ldots + \alpha_{mk}u_m$, e fai il prodotto scalare tra $a_k$ e $u_1$, $a_k$ e $u_2$ ecc. trovando che i rispettivi coefficienti sono uguali per ogni $k$.
Io ti suggerisco un'altra strada. Innanzitutto noti che puoi supporre i vettori $u_1,\ldots,u_m$ linearmente indipendenti. Se così non fosse ne estrai una base e butti via quelli che avanzano. Poi osservi che oltre a poterli supporre linearmente indipendenti, puoi anche supporli ortonormali, altrimenti li ortonormalizzi con Gram-Schmidt, e dimostri che una volta ortonormalizzati si ha ancora che $a_i\cdot u=a_j\cdot u$ per ogni $i,j$ e per ogni $u$ (ora i vettori $u$ sono quelli ortonormalizzati).
Infine scrivi $a_k = \alpha_{1k}u_1 + \ldots + \alpha_{mk}u_m$, e fai il prodotto scalare tra $a_k$ e $u_1$, $a_k$ e $u_2$ ecc. trovando che i rispettivi coefficienti sono uguali per ogni $k$.
Grazie mille, questa è la dimostrazione che cercavo, decisamente più elegante.
Non capisco tuttavia dove abbia sbagliato nel mio tentativo. Mi potresti dare un'indicazione a riguardo? (Così magari evito di ricommettere l'errore). Grazie ancora!
Non capisco tuttavia dove abbia sbagliato nel mio tentativo. Mi potresti dare un'indicazione a riguardo? (Così magari evito di ricommettere l'errore). Grazie ancora!
Non so se ce ne sono altri più avanti, comunque questo è il primo errore che ho trovato nella tua dimostrazione:
Quest'affermazione non è vera! Se sono linearmente dipendenti, l'unica cosa che puoi dedurre è che puoi scrivere almeno uno di questi come combinazione lineare degli altri, ma non che tutti i vettori sono multipli del primo vettore
"Einlar":
Supponiamo che \(\displaystyle n \leq m \) e che i vettori \(\displaystyle a_1, ... a_n \) siano tutti linearmente indipendenti.
Se infatti fossero tutti dipendenti tra loro il teorema sarebbe banalmente dimostrato, in quanto ogni vettore sarebbe pari ad uno scalare moltiplicato per il primo vettore
\(\displaystyle a_n = \lambda_n a_1 \)
Quest'affermazione non è vera! Se sono linearmente dipendenti, l'unica cosa che puoi dedurre è che puoi scrivere almeno uno di questi come combinazione lineare degli altri, ma non che tutti i vettori sono multipli del primo vettore
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo