Base e dimensione di sottospazi vettoriali e loro intersezione
Ho un esercizio sugli spazi vettoriali.
Ho svolto alcuni dei passaggi, ma non riesco a fare tutto
a) Dati i sottospazi vettoriali, determinare una base di ognuno, la rappresentazione cartesiana di V e una base della loro intersezione.
$V= <(1,0,-2,0,1);(0,1,0,-1,0),(0,1,-1,-1,3), (-1, 0, 1 ,0,2)>$
$W=<(x_1+3x_3-x_5=x_2-2x_3+x4_+x_5=0 con x_i € R^5)>$
b) Determinare per quali valori di h il vettore $(1,2,h,-2,1)$ appartiene al sottospazio V.
Per il punto a) ho proceduto in questo modo:
- ho ridotto a scalini la matrice le cui righe sono i vettori di V.
Ho ottenuto la seguente base $ B = {(1,0,-2,0,1) (0,1,0,-1,0), (0,0,-1,0,3) }$
Per il sottospazio W, visto che ho 2 equazioni e 5 variabili, allora ho fissato 3 variabili come parametri e ho ottenuto la base $B = {(-3,3,1,0,0) (0,-1,0,1,0) (0,-1,0,0,-1)}$
Per determinare la dimensione dell'intersezione ho prima di tutto calcolato una base della somma, mettendo insieme le basi di V e W e riducendo la matrice risultante a scalini.
Ho ottenuto che la $dim(V+W)=4$
Quindi per Grassman $dim(VnnW)=2$
Per determinare una base dell'intersezione, ho scritto un generico vettore v di V come
$v=a_1*(1,0,-2,0,1) +a_2 *(0,1,0,-1,0) + a_3*(0,0,-1,0,3) = (a_1, +a_2,-2a_1-a_3, -a_2, a_1+3a_3)$
E ho imposto che questo vettore soddisfi le equazioni cartesiane di W, ma ottengo un sistema indeterminato
Per la rappresentazione cartesiana di V ho imposto che la matrice completa $A|x$ abbia lo stesso rango di A, in questo modo..
(ancora non l'ho svolto però)
$(((1,0,-2,0,1);(0,1,0,-1,0),(0,1,-1,-1,3), (-1, 0, 1 ,0,2), (x,y,z,t,w))$
Pensavo di ridurre a scalini e affinchè il rango di questa matrice completa sia 3, imporre che le equazioni corrispondenti siano nulle.
Nel punto b) non so da dove cominciare..
Help me!
Ho svolto alcuni dei passaggi, ma non riesco a fare tutto
a) Dati i sottospazi vettoriali, determinare una base di ognuno, la rappresentazione cartesiana di V e una base della loro intersezione.
$V= <(1,0,-2,0,1);(0,1,0,-1,0),(0,1,-1,-1,3), (-1, 0, 1 ,0,2)>$
$W=<(x_1+3x_3-x_5=x_2-2x_3+x4_+x_5=0 con x_i € R^5)>$
b) Determinare per quali valori di h il vettore $(1,2,h,-2,1)$ appartiene al sottospazio V.
Per il punto a) ho proceduto in questo modo:
- ho ridotto a scalini la matrice le cui righe sono i vettori di V.
Ho ottenuto la seguente base $ B = {(1,0,-2,0,1) (0,1,0,-1,0), (0,0,-1,0,3) }$
Per il sottospazio W, visto che ho 2 equazioni e 5 variabili, allora ho fissato 3 variabili come parametri e ho ottenuto la base $B = {(-3,3,1,0,0) (0,-1,0,1,0) (0,-1,0,0,-1)}$
Per determinare la dimensione dell'intersezione ho prima di tutto calcolato una base della somma, mettendo insieme le basi di V e W e riducendo la matrice risultante a scalini.
Ho ottenuto che la $dim(V+W)=4$
Quindi per Grassman $dim(VnnW)=2$
Per determinare una base dell'intersezione, ho scritto un generico vettore v di V come
$v=a_1*(1,0,-2,0,1) +a_2 *(0,1,0,-1,0) + a_3*(0,0,-1,0,3) = (a_1, +a_2,-2a_1-a_3, -a_2, a_1+3a_3)$
E ho imposto che questo vettore soddisfi le equazioni cartesiane di W, ma ottengo un sistema indeterminato
Per la rappresentazione cartesiana di V ho imposto che la matrice completa $A|x$ abbia lo stesso rango di A, in questo modo..
(ancora non l'ho svolto però)
$(((1,0,-2,0,1);(0,1,0,-1,0),(0,1,-1,-1,3), (-1, 0, 1 ,0,2), (x,y,z,t,w))$
Pensavo di ridurre a scalini e affinchè il rango di questa matrice completa sia 3, imporre che le equazioni corrispondenti siano nulle.
Nel punto b) non so da dove cominciare..
Help me!
Risposte
ciao,
per trovare le basi di $V$ e $W$ i procedimenti sono corretti.
Per trovare una base dell'intersezione prova a ragionare così: dato un generico $ u in V cap W$, questo, per definizione soddisfa le seguenti due proprietà:
$u in V$
$u in W$.
Quindi scrivi $u$ come combinazione lineare degli elementi di $V$ e poi di $W$, con coefficienti della combinazione da determinare. Uguagli le due combinazioni e ti ricavi il necessario
Ovviamente dopo puoi ricontrollare il tutto tramite la formula di Grassman
b)
Se $[1,2,h,−2,1]^t in V$, allora può essere scritto come combinazione lineare degli elementi di una base di $V$.
Sostanzialmente questo: $ ((1),(2),(h),(−2),(1))= x*((1),(0),(-2),(0),(-1))+y*((0),(1),(0),(-1),(0))+z*((0),(0),(-1),(0),(3)) $
Puoi scrivere la matrice associata a questo sistema, ridurla a gradini e studiare come si comportano le soluzioni al variare del parametro. Magari usando Rouchè-Capelli
per trovare le basi di $V$ e $W$ i procedimenti sono corretti.
Per trovare una base dell'intersezione prova a ragionare così: dato un generico $ u in V cap W$, questo, per definizione soddisfa le seguenti due proprietà:
$u in V$
$u in W$.
Quindi scrivi $u$ come combinazione lineare degli elementi di $V$ e poi di $W$, con coefficienti della combinazione da determinare. Uguagli le due combinazioni e ti ricavi il necessario
Ovviamente dopo puoi ricontrollare il tutto tramite la formula di Grassman
b)
Se $[1,2,h,−2,1]^t in V$, allora può essere scritto come combinazione lineare degli elementi di una base di $V$.
Sostanzialmente questo: $ ((1),(2),(h),(−2),(1))= x*((1),(0),(-2),(0),(-1))+y*((0),(1),(0),(-1),(0))+z*((0),(0),(-1),(0),(3)) $
Puoi scrivere la matrice associata a questo sistema, ridurla a gradini e studiare come si comportano le soluzioni al variare del parametro. Magari usando Rouchè-Capelli
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