Definizione di autovettore

[andy4649]

Salve a tutti ragazzi, sono nuovo del forum. Sono seriamente in crisi con la definizione di autovettore: sul libro e in giro su internet c'è scritto che è un autovettore rispetto a un'operatore lineare f: V --> V un vettore di uno spazio V sul campo K se esiste un l appartentente a K tale che f(v)=lv. Poi dice, sul libro, che " la condizione che deve soddisfare un vettore non nullo v per essere un autovettore di f si scrive Av =lv" dove A è la matrice rappresentativa di f rispetto a una qualsiasi base di V. Perchè? Sono molto confuso, non ho bene in mente una domanda da fare. Spiegatemi semplicemente il perchè dell'affermazione del libro. Grazie in anticipo

[feddy]

Beh, in generale, se tu hai la matrice $A$ che rappresenta una certa applicazione lineare $phi$ rispetto a una certa base, allora calcolare $phi(v)$ è equivalente a calcolare $A cdot v$.

Quindi scrivere $phi(v)=lambdav$ è la stessa cosa che scrivere $Av=lambdav$

[andy4649]

Ma non era che A * le coordinate di v = coordinate di f(v)? Non valeva per le coordinate solo? (rispetto alle basi su cui è stata costruita la matrice)

[feddy]

Esatto.
Se tu conosci la matrice $A$ che definisce l'applicazione, allora moltiplicando per un generico vettore $[x,y,z,t,...]$ otterrai la definizione della tua applicazione...

Prova a prendere un'applicazione qualsiasi (che sia lineare) e verifica questa semplice proprietà. Ossia $phi(v)=Acdotv$


Non capisco dove sia il problema.

[andy4649]

Ok, penso di aver capito, è che avevo in testa l'esistenza delle fantomatiche "componenti" di un vettore come se fossero qualcosa a parte e non come se fossero le componenti in base E, ti faccio solo un'ultima domanda: f(v) = A * v, ma f(v) è espresso sempre in termini di coordinate rispetto alla base del codominio giusto?

[feddy]

Certo, poiché sta nello spazio di arrivo le sue coordinate saranno espresse rispetto alla base dello spazio di arrivo.

Ad ogni modo, ci sono moltissimi esercizi su questo argomento nel web e nel forum... se ci dai un'occhiata vedrai che tutto torna

[andy4649]

Per non aprire un altro topic: quando ti danno l'espressione di un'applicazione lineare, metti una f: R^2 --> R^3, f(x,y) = (x+y, x-y, 2x), se io metto un vettore come argomento espresso come coordinate rispetto a una base B di R^2, come so rispetto a che base di R^3 vengono espresse le coordinate del vettore f(v)?

[feddy]

Se stai lavorando con la base canonica, allora sai già che l'immagine è espressa rispetto alla base canonica (che è anche detta naturale).

Altrimenti, si tratta di esprimere i vettori ottenuti come combinazione lineare degli elementi della base che vuoi nello spazio di arrivo.

Tuttavia, visto che poni questa domanda, credo tu debba ancora affrontare l'argomento "cambiamenti di base", perciò va tranquillo: se non è specificato, la base è quella canonica e hai automaticamente che il vettore dell'immagine è espresso correttamente rispetto a questa base