Base di uno spazio vettoriale e sistema di generatori
Salve,
volevo chiedere un chiarimento sui sistema di generatori e base di uno spazio vettoriale. È da poco che studio questi argomenti e sono in uno stato abbastanza confusionale, quindi chiedo venia in anticipo se farò delle sparate assurde.
Da quanto ho appreso la base di uno spazio vettoriale è un sistema di generatori di V ed è composto da vettori linearmente indipendenti, e questi vettori sono k cioè la dimensione di V (Esempio: R^3 avrà la base composta da 3 vettori linearmente indipendenti). Innanzitutto è giusto l'esempio? Se la base è composta dal massimo numero di vettori lineanrmente indipendenti, può esistere una base con soli 2 vettori linearmente indipendenti? (Sempre nell'esempio di uno spazio vettoriale R^3).
La stessa domanda è rivolta per i sistemi generatori, può esistere un sistema generatore con meno vettori di una base oppure la base è il più piccolo sistema generatore che esiste? Forse non sono stato chiaro a porvi i quesiti, se è così ditemelo che cerco di rimediare e spiegarmi meglio. Grazie in anticipo.
volevo chiedere un chiarimento sui sistema di generatori e base di uno spazio vettoriale. È da poco che studio questi argomenti e sono in uno stato abbastanza confusionale, quindi chiedo venia in anticipo se farò delle sparate assurde.
Da quanto ho appreso la base di uno spazio vettoriale è un sistema di generatori di V ed è composto da vettori linearmente indipendenti, e questi vettori sono k cioè la dimensione di V (Esempio: R^3 avrà la base composta da 3 vettori linearmente indipendenti). Innanzitutto è giusto l'esempio? Se la base è composta dal massimo numero di vettori lineanrmente indipendenti, può esistere una base con soli 2 vettori linearmente indipendenti? (Sempre nell'esempio di uno spazio vettoriale R^3).
La stessa domanda è rivolta per i sistemi generatori, può esistere un sistema generatore con meno vettori di una base oppure la base è il più piccolo sistema generatore che esiste? Forse non sono stato chiaro a porvi i quesiti, se è così ditemelo che cerco di rimediare e spiegarmi meglio. Grazie in anticipo.
Risposte
Una base di uno spazio vettoriale di dimensione $n$ è sempre formato da $n$ vettori linearmente indipendenti. Questo viene dimostrato di solito.
Inoltre una base è un insieme minimale di generatori dello spazio, cioè il più piccolo insieme che contiene vettori che generano tutto lo spazio vettoriale.
Inoltre una base è un insieme minimale di generatori dello spazio, cioè il più piccolo insieme che contiene vettori che generano tutto lo spazio vettoriale.
Era quello che avevo capito anche io, poi ho visto un esercizio e sinceramente mi ha fatto a pezzi tutto quello che pensavo di aver capito.
Per esempio questo testo (non mi interessa l'esercizio in sè, ma soltanto la parte iniziale)
Perché W e U sono generati da due sistemi di generatori a due vettori? Non dovrebbero essere composti da minimo 3?
Per esempio questo testo (non mi interessa l'esercizio in sè, ma soltanto la parte iniziale)
Perché W e U sono generati da due sistemi di generatori a due vettori? Non dovrebbero essere composti da minimo 3?
$W$ e $U$ per poter essere sistemi di generatori di $RR^3$ devono essere composti da almeno 3 vettori.
A occhio però hai che $W+U$ forma una base di $RR^3$ (quella canonica).
A occhio però hai che $W+U$ forma una base di $RR^3$ (quella canonica).
Quindi W e U possono essere composti anche da meno di 3 vettori, però non generano tutto R^3.
E se per esempio W è generato da due vettori indipendenti, questi due vettori compongono la base di W. Ma W non fa comunque parte di $RR^3$ e quindi deve avere PER FORZA 3 vettori come base? Oppure questo vale solo se deve generare tutto $RR^3$?
Lo so che è una domanda parecchio confusionale, ma è questo il dubbio che mi attanaglia
E se per esempio W è generato da due vettori indipendenti, questi due vettori compongono la base di W. Ma W non fa comunque parte di $RR^3$ e quindi deve avere PER FORZA 3 vettori come base? Oppure questo vale solo se deve generare tutto $RR^3$?
Lo so che è una domanda parecchio confusionale, ma è questo il dubbio che mi attanaglia
Esatto. $W$ e $U$ da SOLI non generano tutto $RR^3$. La loro SOMMA sì
Conosci la definzione di "sottospazio" vettoriale ?
Bene, $W$ e $U$ altro non sono che sottospazi vettoriali di $RR^3$.
Inoltre come puoi vedere sono due basi di $RR^2$ (2 vettori lin. indipendenti).
Conosci la definzione di "sottospazio" vettoriale ?
Bene, $W$ e $U$ altro non sono che sottospazi vettoriali di $RR^3$.
Inoltre come puoi vedere sono due basi di $RR^2$ (2 vettori lin. indipendenti).
Penso sia il fatto che W e U siano sottospazi ad avermi ingannato.
Pensavo che visto che i sottospazi ereditano tutte le proprietà dello spazio vettoriale, ereditassero anche il campo su cui sono definiti (se V=$RR^3$, anche W è definito su una parte di $RR^3$, quindi come base avesse sempre 3 vettori indipendenti).
Mi sa che ci metterò un po' assimilare il concetto, grazie della pazienza feddy!
Pensavo che visto che i sottospazi ereditano tutte le proprietà dello spazio vettoriale, ereditassero anche il campo su cui sono definiti (se V=$RR^3$, anche W è definito su una parte di $RR^3$, quindi come base avesse sempre 3 vettori indipendenti).
Mi sa che ci metterò un po' assimilare il concetto, grazie della pazienza feddy!
L'importante è capire 
Ciao
Ciao
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