Retta passante per un punto ed ortogonale ad un'altra retta

[crisz96]

Salve ragazzi, ho questo esercizio che non riesco a capire, ecco il testo:
Si consideri una retta r ortogonale al piano $\pi: 2x + y - z + 2 = 0 $ e passante per il punto P(0,0,1).
Determinare equazioni cartesiane della retta s passante per l'origine, incidente r ed ortogonale ad essa.

Ecco come l'ho risolto:

Innanzitutto trovare la retta r è un gioco da ragazzi, basta unire il vettore del piano e il punto:
$ r: {(x = 2t), (y = t), (z = 1 - t) :}$

Da queste equazioni ricaviamo t = 1 -z e la sostituiamo alle altre due

$ r: {(x = 2 - 2z), (y = 1 - z):}$

Ordiniamo

$ r: {(x + 2z - 2 = 0), (y + z - 2 = 0):}$

Attraverso queste due equazioni cartesiane possiamo scrivere il fascio di rette, in modo da ricavare il piano contenente la retta r e passante per l'origine:

$
\phi: x + 2z - 2 + \alpha y + \alpha z - \alpha 2 = 0;
$
$
\phi: x + \alpha y + (2+ \alpha )z -2 - \alpha 2 = 0;
$

Affinché passi per l'origine dobbiamo imporre il termine noto uguale a 0, dunque $\alpha = -1 $
$
\phi: x - y + z = 0;
$

Questo è il piano contenente r e passante per l'origine, se consideriamo il vettore direttore di $\phi$ e la direzione della retta r, ci accorgiamo che formano un angolo di 90 gradi e sono entrambi ortogonali al vettore s che cerchiamo (e si può vedere con la regola della mano destra), dunque facciamo il prodotto vettoriale tra i due vettori:

$ Vr x \phi = (2, 1, -1)x(1, -1, 1) = (0, -3, -3) $

Adesso non ci resta altro che trovare una retta passante per l'origine con vettore (0, -3, -3):

$ s: {(x = 0), (y = -3t), (z = -3t) :}$
passando ad equazioni cartesiane:
$ s: {(x = 0), (y = z) :}$

E questo è il mio risultato. Invece il risultato doveva essere il seguente:
$ s: {(2x + y - z = 0), (x - y + z = 0) :}$

Insomma, non ci sono andato nemmeno vicino.
Dove ho sbagliato?

[crisz96]

Mi rispondo da solo, di solito quando posto un esercizio in un forum mi accorgo di cose che, anche stando mezz'ora a fissare il foglio, non mi accorgerei.

Risolvendo il primo sistema forse ci si accorge che è simile al primo, basta moltiplicare la seconda equazione del secondo sistema per -1, poi effettuare la somma e si ottiene x = 0; si sostituisce ad una delle due equazioni e si ottiene y = z;
E' corretto? Non avevo mai risolto esercizi così, il professore proponeva un altro metodo, ero strasicuro ci fosse un errore nel metodo

[Einlar]

Salve! Forse non sono la persona più esperta per dare suggerimenti, ma ecco qui i miei due penny.
Ho provato a fare un disegno con Geogebra, ed effettivamente la retta presentata come soluzione del problema (s) non incide nemmeno r.
Possibile che la soluzione sia invece:
\(\displaystyle s: \begin{cases} 2x+y-z=0 \\ x-y+z=1 \end{cases} \) ?
Come procedimento ho semplicemente preso il piano parallelo a \(\displaystyle \pi \) e passante per l'origine e l'ho intersecato alla retta data. La retta s cercata passa quindi per O e il punto appena trovato \(\displaystyle (\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{5}{6} ) \).