Progressione geometrica
Buonasera vorrei per favore fugare dei dubbi sulle progressioni geometriche;
sul web ci sono tante formule ma ancora non capisco quale sia la formula corretta. Perché la ragione della progressione geometrica $q$ equivale a $(C(n))/(C(n-1))$?Con $C$ si intende un capitale investito a un tasso fisso di interesse annuo. Come si fa a sapere quando occorre adoperare la progressione geometrica piuttosto che l'aritmetica? Scusate l'ignoranza, grazie mille
sul web ci sono tante formule ma ancora non capisco quale sia la formula corretta. Perché la ragione della progressione geometrica $q$ equivale a $(C(n))/(C(n-1))$?Con $C$ si intende un capitale investito a un tasso fisso di interesse annuo. Come si fa a sapere quando occorre adoperare la progressione geometrica piuttosto che l'aritmetica? Scusate l'ignoranza, grazie mille
Risposte
Una progressione geometrica si ottiene moltiplicando il termine precedente per un coefficiente fisso,detto ragione. Ecco che ragione è il rapporto tra un termine ed il suo precedente.
Esempio se la ragione è 3 e il primo termine è 2:
2,6,18,...
Esempio se la ragione è 3 e il primo termine è 2:
2,6,18,...
Grazie mille quindi questo è il significato di quella formula, invece che cosa rappresenta questa:
$SigmaS(i)$= $nS$ + $[(n(n-1))/2]d$
Ho letto che si tratta di una progressione aritmetica, ma come si arriva a tale formula?
Grazie mille
$SigmaS(i)$= $nS$ + $[(n(n-1))/2]d$
Ho letto che si tratta di una progressione aritmetica, ma come si arriva a tale formula?
Grazie mille
Nella progressione aritmetica ho $a_0+a_1+...+a_n $, dove la differenza tra due termini consecutivi è costante.
avrò quindi
$a_0=S$
$a_1=a_0+d=S+d $
$a_2=a_1+d=S+2d $
...
$a_n=a_{n-1}+d=S+n*d $
E quindi
$a_0+a_1+...+a_n=(S)+(S+d)+...+(S+nd)=(n+1)*S+d*(1+2+...+n)=(n+1)S+frac{n (n+1)}{2}d $
Ps: nota che i miei indici partono da zero e sto sommando quindi n+1 termini; se vuoi la somma con n termini, basta scalare di 1 la n e ottieni quella che hai scritto tu
avrò quindi
$a_0=S$
$a_1=a_0+d=S+d $
$a_2=a_1+d=S+2d $
...
$a_n=a_{n-1}+d=S+n*d $
E quindi
$a_0+a_1+...+a_n=(S)+(S+d)+...+(S+nd)=(n+1)*S+d*(1+2+...+n)=(n+1)S+frac{n (n+1)}{2}d $
Ps: nota che i miei indici partono da zero e sto sommando quindi n+1 termini; se vuoi la somma con n termini, basta scalare di 1 la n e ottieni quella che hai scritto tu
Grazie infinite ma invece a questa:
$Sigma$ $C(i)$= $C ((1-q^n)/(1-q))$
come si arriva?
Grazie mille, vorrei fugare per favore anche questo dubbio:
perché l'aumento di stipendio per effetto degli scatti di anzianità (come li vuole il Lavoratore) si rapprensenta con una progressione geometrica mentre l'aumento di uno stipendio per effetto degli scatti di
anzianità ( dalla parte del padrone) si calcola con una progressione aritmetica? Che cambia se li vuole il padrone o il lavoratore?
Grazie infinite
$Sigma$ $C(i)$= $C ((1-q^n)/(1-q))$
come si arriva?
Grazie mille, vorrei fugare per favore anche questo dubbio:
perché l'aumento di stipendio per effetto degli scatti di anzianità (come li vuole il Lavoratore) si rapprensenta con una progressione geometrica mentre l'aumento di uno stipendio per effetto degli scatti di
anzianità ( dalla parte del padrone) si calcola con una progressione aritmetica? Che cambia se li vuole il padrone o il lavoratore?
Grazie infinite
L'ultimo tuo messaggio non l'ho capito, ma penso tu intendessi questo:
$1+q+q^2+q^3+...+q^n=\sum_{j=0}^n q^j=frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ ed in particolare: $\sum_{j=0}^{\infty} q^j=lim_{n to \+infty} frac{1-q^{n+1}}{1-q}=frac{1}{1-q}$, se $|q|<1$.
Si dimostra "abbastanza facilmente":
Sia $S:=\sum_{j=0}^n q^j=1+q+...+q^n$
Allora $S*q=(1+q+...+q^n)*q=q+q^2+...+q^n+q^{n+1}$
and $S-1+q^{n+1}=(1+q+...+q^n)-1+q^{n+1}=q+...+q^n+q^{n+1}$
Da cui
$S*q=S-1+q^{n+1}$ quindi $S*q-S=q^{n+1}-1=>S=frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
$1+q+q^2+q^3+...+q^n=\sum_{j=0}^n q^j=frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ ed in particolare: $\sum_{j=0}^{\infty} q^j=lim_{n to \+infty} frac{1-q^{n+1}}{1-q}=frac{1}{1-q}$, se $|q|<1$.
Si dimostra "abbastanza facilmente":
Sia $S:=\sum_{j=0}^n q^j=1+q+...+q^n$
Allora $S*q=(1+q+...+q^n)*q=q+q^2+...+q^n+q^{n+1}$
and $S-1+q^{n+1}=(1+q+...+q^n)-1+q^{n+1}=q+...+q^n+q^{n+1}$
Da cui
$S*q=S-1+q^{n+1}$ quindi $S*q-S=q^{n+1}-1=>S=frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Perché si fa per $n$ che tende a + infinito al secondo passaggio? Grazie mille e mi scuso per aver espresso male la domanda Grazie mille
quella formula è valida se tu vuoi sommare n+1 termini (da zero a n)
Se tu vuoi sommarne infiniti, in realtà non puoi. Allora cosa fai? ne sommi n, ma prendi n moolto grande, cioè ne fai il limite per n a infinito
Se tu vuoi sommarne infiniti, in realtà non puoi. Allora cosa fai? ne sommi n, ma prendi n moolto grande, cioè ne fai il limite per n a infinito
Meno male che ci siete voi del forum, siete chiari, gentili e molto disponibili! Vi ringrazio tanto
Prego 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo