Vettore tangente ad una varietá in un punto.
salve a tutti. Ho un problema con la definizione di vettore tangente ad una vatietá, data in una dispensa che sto seguendo. La definizione credo sia chiara, ma non riesco ad applicarla:
Sia $\tau(\R)$ l'algebra delle funzioni di classe $c^1$ in un intorno p della varietà M. Sia $\gamma(t)$ una curva su M definita in un intervallo reale tale che $\gamma(t_0)=p$. Un vettore tangente alla varietá nel punto p è : $frac{df(\gamma(t))}{dt}$ valutata in $t_0$. In parole povere abbiamo una curva sulla verietá che passa per il punto p, consideriamo una funzione qualsiasi di classe $c^1$ definita sulla varietà ristretta sulla curva e ne valutiamo la derivata in p. Otteniamo un vettore tangente alla varietà, cambiando curva ne otterremo un altro ecc...questa definizione però dovrebbe essere indipendente dalla scelta della funzione ma non mi sembra che questa lo sia. infatti fissando una curva e provando questa definizione per varie funzioni, si ottengono vettori tangenti diversi. Per esempio ho provato a prendere come varietá $R^2$, come curva un ramo di parabola e ho valutato due funzioni definite in $R^2$ sulla curva, infine ho eseguito le derivate della definizione e ho ottenuto due numeri diversi. A questo punto mi rivolgo alla platea per guidarmi alla comprensione di questo esempio e della definizione generale.
Sia $\tau(\R)$ l'algebra delle funzioni di classe $c^1$ in un intorno p della varietà M. Sia $\gamma(t)$ una curva su M definita in un intervallo reale tale che $\gamma(t_0)=p$. Un vettore tangente alla varietá nel punto p è : $frac{df(\gamma(t))}{dt}$ valutata in $t_0$. In parole povere abbiamo una curva sulla verietá che passa per il punto p, consideriamo una funzione qualsiasi di classe $c^1$ definita sulla varietà ristretta sulla curva e ne valutiamo la derivata in p. Otteniamo un vettore tangente alla varietà, cambiando curva ne otterremo un altro ecc...questa definizione però dovrebbe essere indipendente dalla scelta della funzione ma non mi sembra che questa lo sia. infatti fissando una curva e provando questa definizione per varie funzioni, si ottengono vettori tangenti diversi. Per esempio ho provato a prendere come varietá $R^2$, come curva un ramo di parabola e ho valutato due funzioni definite in $R^2$ sulla curva, infine ho eseguito le derivate della definizione e ho ottenuto due numeri diversi. A questo punto mi rivolgo alla platea per guidarmi alla comprensione di questo esempio e della definizione generale.
Risposte
Un vettore tangente e' una cosa (una funzione se vogliamo ma chiamarla funzione potrebbe confondere un pochino) che mangia funzioni definite in un intorno di $p$ (e in realta' gli basta anche un po' meno - gli basta quello che si chiama il germe di una funzione) e sputa fuori numeri.
Quello di cui tu parli e' il valore che il vettore tangente assume su una funzione e certamente dipende dalla funzione!
Chiamiamo $C^1(M)_p$ sono le funzioni definite in un intorno di $p$. Un vettore tangente vuole essere un qualcosa
$$
v: C^1(M)_p \to \mathbb{R},
$$
che soddisfa alcune proprieta': deve essere lineare e soddisfare la regola di Leibniz del prodotto.
Ora, se ho una curva $\gamma: (-\epsilon, \epsilon) \to M$ con $\gamma(0) = 0$, ogni $f \in C^1(M)_p$ ti definisce una funzione $f \circ \gamma \in C^1 (-\epsilon, \epsilon)$. Di questa funzione sappiamo fare la derivata in $0$. Definiamo dunque
$$
w_\gamma : C^1(M)_p \to \mathbb{R},
$$
$w_\gamma (f) = \frac{df(\gamma(t))}{dt}|_0$, che e' un numero!
Ora, i vettori tangenti alle curve in $\mathbb{R}^n$ sappiamo calcolarli senza parlare di varieta': il vettore tangente a una curva in $\mathbb{R}^n$ e' un vettore le cui entrate sono le derivate delle entrate della curva stessa. Date $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono due curve su $M$, allora possiamo leggerle come curve in $\mathbb{R}^n$ attraverso una carta in un intorno di $p$; si osserva che se hanno lo stesso vettore tangente in $0$ (come vettore di $\mathbb{R}^n$) allora $w_{\gamma_1}(f) = w_{\gamma_2}(f)$.
Quindi $w_\gamma$ non dipende davvero da $\gamma$, ma solo dal suo vettore tangente!
Teorema: Tutte le funzioni $v: C^1(M)_p \to \mathbb{R}$ lineari e che soddisfano la regola di Leibniz sono $w_\gamma$ per una qualche curva $\gamma$.
Questo ci dice esattamente come sono fatti tutti i vettori tangenti a $M$ in $p$, visti come funzioni che associano un numero a una funzione definita in un intorno di $p$.
Quello di cui tu parli e' il valore che il vettore tangente assume su una funzione e certamente dipende dalla funzione!
Chiamiamo $C^1(M)_p$ sono le funzioni definite in un intorno di $p$. Un vettore tangente vuole essere un qualcosa
$$
v: C^1(M)_p \to \mathbb{R},
$$
che soddisfa alcune proprieta': deve essere lineare e soddisfare la regola di Leibniz del prodotto.
Ora, se ho una curva $\gamma: (-\epsilon, \epsilon) \to M$ con $\gamma(0) = 0$, ogni $f \in C^1(M)_p$ ti definisce una funzione $f \circ \gamma \in C^1 (-\epsilon, \epsilon)$. Di questa funzione sappiamo fare la derivata in $0$. Definiamo dunque
$$
w_\gamma : C^1(M)_p \to \mathbb{R},
$$
$w_\gamma (f) = \frac{df(\gamma(t))}{dt}|_0$, che e' un numero!
Ora, i vettori tangenti alle curve in $\mathbb{R}^n$ sappiamo calcolarli senza parlare di varieta': il vettore tangente a una curva in $\mathbb{R}^n$ e' un vettore le cui entrate sono le derivate delle entrate della curva stessa. Date $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono due curve su $M$, allora possiamo leggerle come curve in $\mathbb{R}^n$ attraverso una carta in un intorno di $p$; si osserva che se hanno lo stesso vettore tangente in $0$ (come vettore di $\mathbb{R}^n$) allora $w_{\gamma_1}(f) = w_{\gamma_2}(f)$.
Quindi $w_\gamma$ non dipende davvero da $\gamma$, ma solo dal suo vettore tangente!
Teorema: Tutte le funzioni $v: C^1(M)_p \to \mathbb{R}$ lineari e che soddisfano la regola di Leibniz sono $w_\gamma$ per una qualche curva $\gamma$.
Questo ci dice esattamente come sono fatti tutti i vettori tangenti a $M$ in $p$, visti come funzioni che associano un numero a una funzione definita in un intorno di $p$.
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