Topologia indotta da atlanti compatibili
Scusate il problema sciocco, ma non riesco a dimostrare che due atlanti compatibili inducono la stessa topologia.
Un atlante \(\displaystyle \mathcal{A} = \{ (U_{\alpha}, \phi_{\alpha}) \}\) su un insieme \(\displaystyle M \) induce una topologia su questo insieme nel senso che \(\displaystyle A \subset M \) è aperto se e solo se \(\displaystyle \phi_{\alpha} (A \cap U_{\alpha}) \) è un aperto di \(\displaystyle \Bbb R^n \) per ogni carta nell'atlante.
Dovrei dimostrare che se ho un altro atlante \(\displaystyle \mathcal{B} = \{ (U_{\beta}, \psi_{\beta}) \}\) equivalente al primo, \(\displaystyle A \) aperto secondo la topologia indotta da \(\displaystyle \mathcal{A} \) implica \(\displaystyle A \) aperto secondo la topologia indotta da \(\displaystyle \mathcal{B} \).
Mi date un hint?
Un atlante \(\displaystyle \mathcal{A} = \{ (U_{\alpha}, \phi_{\alpha}) \}\) su un insieme \(\displaystyle M \) induce una topologia su questo insieme nel senso che \(\displaystyle A \subset M \) è aperto se e solo se \(\displaystyle \phi_{\alpha} (A \cap U_{\alpha}) \) è un aperto di \(\displaystyle \Bbb R^n \) per ogni carta nell'atlante.
Dovrei dimostrare che se ho un altro atlante \(\displaystyle \mathcal{B} = \{ (U_{\beta}, \psi_{\beta}) \}\) equivalente al primo, \(\displaystyle A \) aperto secondo la topologia indotta da \(\displaystyle \mathcal{A} \) implica \(\displaystyle A \) aperto secondo la topologia indotta da \(\displaystyle \mathcal{B} \).
Mi date un hint?
Risposte
Atlanti "compatibili" dovrebbe voler dire che hanno un raffinamento comune (prendendo tutte le intersezioni a due a due).
Osserva che la topologia data da un atlante e' la stessa di quella data da un suo raffinamento.
Osserva che la topologia data da un atlante e' la stessa di quella data da un suo raffinamento.
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