Equazioni nella base naturale di un sottospazio
Salve a tutti, l'esercizio mi chiede di scrivere le equazioni nella base naturale dei seguenti sottospazi di $RR$\(\displaystyle ^4 \):
\(\displaystyle V=[(1,1,0,-1),(0,0,1,0),(1,0,1,0)] \)
Allora ho riscritto i vettori in una matrice \(\displaystyle A \) e l'ho ridotta a gradini:
$|(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(-1,0,0)|$ Che ridotta diventa: $|(1,0,1),(0,1,1),(0,0,-1),(0,0,0)|$
Quindi, se ho fatto tutto bene, l matrice ora ha 3 pivot e quindi il suo rango \(\displaystyle rg(A) = 3 \). Allora 3 vettori sono linearmente dipendenti e formano una base.
Non so se ho ragionato bene o sbagliato qualcosa...ma poi cosa significa "scrivere le equazioni nella base naturale"?
Saluti Marco
\(\displaystyle V=[(1,1,0,-1),(0,0,1,0),(1,0,1,0)] \)
Allora ho riscritto i vettori in una matrice \(\displaystyle A \) e l'ho ridotta a gradini:
$|(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(-1,0,0)|$ Che ridotta diventa: $|(1,0,1),(0,1,1),(0,0,-1),(0,0,0)|$
Quindi, se ho fatto tutto bene, l matrice ora ha 3 pivot e quindi il suo rango \(\displaystyle rg(A) = 3 \). Allora 3 vettori sono linearmente dipendenti e formano una base.
Non so se ho ragionato bene o sbagliato qualcosa...ma poi cosa significa "scrivere le equazioni nella base naturale"?
Saluti Marco
Risposte
"marcoopsone":
Allora 3 vettori sono linearmente dipendenti e formano una base.
I vettori di una base sono linearmente INdipendenti.
Penso significhi scrivere il sistema associato alla tua matrice. La base naturale è la base canonica. Significa "trasformare" un sistema di generatori in equazioni cartesiane. Se cerchi on internet troverai facilmente la risoluzione di questo tipo di esercizi.
cooper grazie mille per la risposta. Si scusa è stato un mio errore sono INdipendenti e non dipendenti. Vorrei sapere se ho ragionato bene e se è giusto dire che quella è la base. Grazie ancora!
si dato quel sistema di generatori, unna base di $RR^4$ è data per esempio dai primi tre vettori di V. ma non hai scritto le equazioni rispetto alla base canonica. quello che hai fatto, ai fini della risoluzione dell'esercizio, non serve.
Io farei così
Sappiamo che $dim(V)=3$, quindi ci serve un sistema lineare omogeneo che abbia $oo^3$ soluzioni [nota]L'infinità delle soluzioni è data da $oo^(c-r)$, dove $c$ è il numero totale delle incognite e $r$ è il rango.[/nota]; avendo quattro incognite ci basta una sola equazione: $t-y=0$
$( ( 1 , 0 , 1 , x ),( 1 , 0 , 0 , y ),( 0 , 1 , 1 , z ),( -1 , 0 , 0 , t ) ) $
$R_3->R_3-R_2$
$( ( 1 , 0 , 1 , x ),( 1 , 0 , 0 , y ),( 0 , 1 , 1 , z ),( 0 , 0 , 0 , t-y ) ) $ [nota]Normalmente si completerebbe la riduzione a scalini, ma in questo caso non serve in quanto tale riduzione non coinvolge la quarta riga che a noi interessa.[/nota]
$R_3->R_3-R_2$
$( ( 1 , 0 , 1 , x ),( 1 , 0 , 0 , y ),( 0 , 1 , 1 , z ),( 0 , 0 , 0 , t-y ) ) $ [nota]Normalmente si completerebbe la riduzione a scalini, ma in questo caso non serve in quanto tale riduzione non coinvolge la quarta riga che a noi interessa.[/nota]
Sappiamo che $dim(V)=3$, quindi ci serve un sistema lineare omogeneo che abbia $oo^3$ soluzioni [nota]L'infinità delle soluzioni è data da $oo^(c-r)$, dove $c$ è il numero totale delle incognite e $r$ è il rango.[/nota]; avendo quattro incognite ci basta una sola equazione: $t-y=0$
Ciao Magma grazie per la risposta, non so se mi è chiaro il concetto ma ora posto un esercizio svolto da me dopo aver letto il tuo intervento. Speriamo bene...
Allora questo volta ho $((1,-1,-2,x),(0,1,2,y),(-1,2,4,z),(0,0,0,t))$
Riducendo a gradini avrò: $((1,-1,-2,x),(0,1,2,y),(0,0,0,z-x-y),(0,0,0,t))$
La \(\displaystyle dim(V)=2 \). Considero l'equazioni: \(\displaystyle -x-y+z=0, t=0 \)
Quante cose sbagliate ho scritto? xD Speriamo bene....
Allora questo volta ho $((1,-1,-2,x),(0,1,2,y),(-1,2,4,z),(0,0,0,t))$
Riducendo a gradini avrò: $((1,-1,-2,x),(0,1,2,y),(0,0,0,z-x-y),(0,0,0,t))$
La \(\displaystyle dim(V)=2 \). Considero l'equazioni: \(\displaystyle -x-y+z=0, t=0 \)
Quante cose sbagliate ho scritto? xD Speriamo bene....
Ok 
Grazie anche per questo consiglio =)
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