Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buongiorno ragazzi,
stavo svolgendo degli esercizi per la preparazione all'esame di Algebra e mi sono imbattuto in questo esercizio:
Determinare, se esiste, la trasformazione lineare $T:R^4->R^3$ tale che:
$T(1,0,1,0)=(2,1,3)$
$T(0,-1,0,0)=(0,-1,1)$
$T(2,0,0,-2)=(4,0,4)$
$T(0,3,1,-1)=(0,4-4)$
Come prima cosa ho fatto la matrice:
$( ( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , -1 , 0 , 0 ),( 2 , 0 , 0 , -2 ),( 0 , 3 , 1 , -1 ) ) $
Facendo Laplace sulla seconda riga, il suo determinante è uguale a 4, quindi il rango di tale matrice è 4, quindi sono tutti vettori linearmente ...
Ciao a tutti,
mi è stato chiesto di disegnare il grafico magnitudine vs $w$ di un numero complesso che ha questa forma:
$ H(w) = (a-ae^(-j2w))/(b-ce^(-jw)+de^(-j2w)) $
Dove $a, b, c, d$ sono coefficienti reali che mi sono preso la libertà di semplificare mettendoli in una variabile.
Qual è il modo corretto per procedere? Si può assumere che il grafico venga disegnato su assi logaritmici, se questo cambia qualcosa.
Sia V uno spazio vettoriale sui reali e sia R=(a,b,c) un suo riferimento .
1)determinare in R le componenti del vettore d=b-c.
2)provare che il sistema S={b,c,d} è linearmente dipendente .
3) rappresentare in R il sottospazio V' generato dal sistema {a,d}.
4)rappresentare un endomorfismo g che abbia V' come spazio immagine .
Sono nuovo e non so se vada bene del tutto la mia domanda grazie in anticipo per le risposte
Salve,
ho trovato un esercizio in cui viene chiesta la matrice associata ad un'applicazione rispetto ad una base diversa da quella nella quale mi viene data.
Data la matrice $[L] = [[1,2,0],[1,0,1],[0,1,2]]$ la matrice associata ad $L$ (biiettiva) rispetto alla base canonica di $RR^3$ calcolare la matrice associata rispetto alla base $v_1 = ((1),(1),(1))$ $v_2 = ((0),(1),(1))$ $v_3 = ((1),(0),(1))$ in due modi: uno attraverso il calcolo delle matrici di cambiamento di base $M$ e ...
Ciao a tutti. Volevo chiarire il seguente dubbio: dato un sistema lineare, riduco a scala la matrice completa per mettere a nudo eventuali dipendenze lineari tra le equazioni. E il numero di pivot, cioè di righe non nulle, mi rappresenta il numero di equazioni indipendenti. Fin qui ci sono. Però, poi perchè le incognite corrispondenti a quelle colonne non contenenti i pivot vengono considerate come parametri? Cioè, perchè posso dire che sono proprio tali colonne ad essere linearmente ...
Non riesco a determinare la dimensione e la base del seguente sottospazio vettoriale definito da un polinomio, come si deve procedere ?
$ U={p(x) in R<= 4 : p(-sqrt(2) )=p(sqrt(2) )=0} $
Ho fatto un tentativo e ottengo $dim(U)=4$ ma non sono sicuro del procedimento che ho adottato .
Salve è il mio primo messaggio in questo forum e spero di non sbagliare nulla (il regolamento lo ho letto quasi tutto ).
Il mio problema è che devo trovare l'equazione del cono con direttrice una circonferenza nello spazio (ho sia le coordinate cartesiane come intersezione di una sfera e un piano, sia le coordinate parametriche del tipo:
$x(t) = c1 + r*cos(t)*x1+r*sin(t)*y1$
$y(t) = c2 + r*cos(t)*x2+r*sin(t)*y2$
$z(t) = c3 + r*cos(t)*x3+r*sin(t)*y3$
Mentre il vertice del cono è di generiche coordinate $[v1,v2,v3]$.
(Devo mantenere tutto ...
Salve. Ho trovato un esercizio che chiede di calcolare la norma minima di un vettore w tale che $ v + w ∈ U $ .
Il vettore v è $ v=(4,2,4,2) $
Per risolvere l'esercio ho trovato una base di $ U^_|_ $ che è $ U^_|_ =<(1,1,-2,0),(-2,0,1,-3)> $
In seguito ho scritto il vettore w come $ w=v + lambda(1,1,-2,0)+mu(-2,0,1,-3) $
cioè $ w=(1lambda-2mu+4,lambda+2,-2lambda+mu+4,-3mu+2) $
Poi ho sostituito le coordinate del vettore w nelle equazioni di U che sono:
$ { ( 2x1-x3+3x4=0 ),(x1+x2-2x4=0):} $
e ho trovato
$ { ( 2lambda-4mu+8+2lambda-mu-4-9mu+6=0 ),(lambda-2mu+4+lambda+2+6mu-4=0):} $
Risulta :
...
Salve a tutti, ho riscontrato una piccola ambiguità sulla definizione di intorno di un punto x di raggio r. Da alcune fonti viene definito come un insieme contenente un intervallo centrato aperto di centro x e raggio r, mentre altrove viene definito come un insieme di punti che distano fa x meno di r. A me sembra che la prima definizione sia un po' ridondante visto che per definire un intorno ricorre all'inclusione insiemistica di un intervallo centrato aperto che è comunque intorno. ...
Ciao ragazzi, volevo chiarirmi un dubbio. Perche' una matrice ridotta a scala con tutti i pivot non nulli ha tutte le righe indipendenti?
Intuisco che se impongo la dipendenza lineare vedo che il primo coefficiente si annulla, quindi il secondo e cosi via fino a constatare che si annullano tutti quanti, ma volevo una dimostrazione formale. Non so, se qualcuno di voi ne abbia una chiara, grazie.
Salve, non riesco a fare il secondo punto di questo esercizio:
i)Classificare e determinare una forma diagonale della seguente forma quadratica di $R^3$:
$Φ(x_1,x_2,x_3) = 2x_1^2+ 4x_1x_3+x_2^2 −x_3^2$. Specificare inoltre la base di $R^3$ rispetto alla quale è ottenuta tale forma canonica.
ii) La forma $Φ$ è un prodotto scalare?
Sul primo punto non ci sono problemi, il problema sorge nel fatto se questa forma quadratica è o meno un prodotto scalare.
Salve, devo calcolare gli autovettori associati agli autovalori di una matrice 3x3
la matrice è la seguente $ [ ( -1 , 4 , 2 ),( 0 , -1 , 0 ),( -1 , -2 , -3 ) ] $
gli autovalori sono:
$ lamda_1 = -1 $
$ lamda_(2,3)=-2+- j $
l'autovettore associa all'autovalore reale è:
$ u_1 = ( ( -2 ),( -1),( 2 ) ) $
per calcolare gli autovettori associati agli autovalori complessi ho usato
$ (A-(-2+j)I)( ( a ),( b ),( c ) ) = ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
ottengo
$ a = (-1+j)c $
$ b=0 $
$ 0=0 $
quindi assegno un parametro a c
$ c=tin C $
ma il risultato è ...
Ciao ragazzi, avrei bisogno di aiuto in un esercizio sui sottospazi vettoriali.
La domanda è: nello spazio vettoriale dei polinomi reali a coefficienti reali quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali? Scrivo di seguito due domande differenti così da capire il procedimento e provare a svolgere gli altri autonomamente
A) {p(t) appartiene a R[t] : p(0)=1}
B) {p(t) appartiene a R[t]: gr(p)>=2}
Dovrei verificare che siano chiusi linearmente ma non so come procedere praticamente. Vi ...
Inizio premettendo che non so se questo post è adeguato al 100% alla sezione.. In ogni caso, dalle vostre esperienze, mediamente quanto tempo ci vuole per preparare l'esame scritto di Geometria ed Algebra (Ingegneria) partendo da zero ?
Buonasera,
non riesco a disegnare una curva. L'esercizio è il seguente, in cui metto come testo nascosto le parti precedenti.
Data la curva $alpha:[0,L] rarr RR^2$, parametrizzata dall'ascissa curvilinea, e dato un numero $r>0$, si consideri la curva $beta:[0,L] rarr RR^2$ definita da: $beta(s)=alpha(s)+rN_alpha(s)$, dove $N_alpha(s)=Jalpha'(s)$ è il versore normale di $alpha$.
$a)$ Per quali valori di $r$ la curva $beta$ è regolare in ...
Ciao a tutti!
A breve avrò l'esame di matematica generale, ma avendo saltato qualche lezione non riesco a capire bene un piccolo passaggio per calcolare i massimi e i minimi con il metodo di Lagrange.
Dopo aver trovato i punti stazionari e completato la Matrice Hessiano orlata, la mia professoressa nella spiegazione ha aggiunto come si fa a capire se è un massimo o un minimo (ma leggendo gli appunti e dal libro non riesco a capire la spiegazione).
Vi cito qui sotto la ...
Salve a tutti, devo dimostrare che lo spazio delle derivazioni sui germi di funzioni continue si riduce alla sola derivazione nulla, sono due ore che impazzisco nel tentativo di fare questa dimostrazione, ma mi blocco in partenza:
$\forall[f]inmathcal{C}(mathbb{R} ), D[f]=D[sqrt{f}*sqrt{f}]=2[sqrt{f}]D[sqrt{f}]$.
A questo punto dovrei ricondurmi a qualcosa che mi implica $\D[sqrt{f}]=0$ ma sono veramente disperato, non ho mai trattato questi argomenti, ed il professore ce li ha trattati solo per prepararci al vero corso di geometria differenziale che ...
Ciao a tutti. Sto per sottoporvi una domanda stupidissima e alla quale mi sono dato tante risposte, ma ho come la sensazione che ognuna non sia rigorosa. "Se una matrice di ordine [m,n] ha rango nullo, allora è la matrice nulla."
1) Se il rango è nullo, dalla def. di rango, la dimensione dello spazio generato dalle righe della matrice ha dimensione 0 e allora è il sottospazio banale di R^n, dunque tutte le righe sono nulle; non so perchè ma non mi convince.
2)Considerato un sistema costituito ...
Salve a tutti! Stò esercitandomi con l'eserciziario di Marco Abate-Chiara De Fabritiis(esercizi di geometria) e devo affrontare il seguente problema, ho delle evidenti lacune ma non saprei dove iniziare a colmare, inoltre se possibile vorrei una mano nello svolgimento di questo esercizio. Ringrazio in anticipo quanti vorranno aiutarmi!
L'esercizio è un esercizio guida(con svolgimento), nonostante ciò alcune cose mi sono oscure, in particolar modo la parametrizzazione di incognite, e i casi ...
Sia data l'applicazione lineare $ f: R^3 rarr R^3 $ con matrice associata rispetto alle basi canoniche nel dominio e nel codominio
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ),( 3 , 1 , -1 ) ) $
Determinare una matrice diagonale simile ad $ M^(B,B)(f) $ ed una matrice P che diagonalizza $ M^(B,B)(f) $ (B base canonica).
Che vuol dire che la matrice è associata rispetto alle basi canoniche nel dominio e nel codominio?
Che vuol dire $ M^(B,B)(f) $ ?
Potreste risolvere l'esercizio?
Grazie in anticipo.
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