Determinazione sottospazio vettoriale

[martintoni]

Salve,

alcuni esercizi mi chiedono, a partire da uno span definito da alcuni vettori, di determinare se questo è un sottospazio. Mi potreste descrivere un procedimento generale per favore?
Cordiali saluti.

[feddy]

ciao,

per verificare che un insieme $T$ è un sottospazio vettoriale di $U$ su un campo $mathbb{K}$, è necessario e sufficiente verificare che soddisfi gli assiomi di sottospazio vettoriale.

Sai quali sono?

1. $0_U in T$

2. Presi $w,v in T$, si ha che $w+v in T$

3. Pre $alpha,beta in mathbb{K}$ e un $v inT $ si ha che $alphav in T$

Le precedenti due condizioni si possono riassumere nella cosiddetta "chiusura per combinazioni lineari": dati $alpha,beta in mathbb{K}$ e $v,w in T$ si ha che $alphav+betaw in T$.


Nel caso particolare in cui tu abbia lo span di alcuni vettori, è sufficiente determinarne una base, e vedere che ha dimensione minore dello spazio di appartenenza.

Se tutti i vettori dello span sono linearmente indipendenti tra loro, allora avrai trovato una base dello spazio, e se la dimensione coincide con quella dello spazio $U$, allora il sottospazio vettoriale coincide con $U$. In particolare, sono isomorfi.

Altrimenti, estrai una base da quel sistema di generatori, e la dimensione di tale base ti fornirà la dimensione del sottospazio vettoriale.

Esempi ce ne sono moltissimi, sia sul web che specialmente su questo forum