Cambio di base per endomorfismi
Salve,
ho trovato un esercizio in cui viene chiesta la matrice associata ad un'applicazione rispetto ad una base diversa da quella nella quale mi viene data.
Data la matrice $[L] = [[1,2,0],[1,0,1],[0,1,2]]$ la matrice associata ad $L$ (biiettiva) rispetto alla base canonica di $RR^3$ calcolare la matrice associata rispetto alla base $v_1 = ((1),(1),(1))$ $v_2 = ((0),(1),(1))$ $v_3 = ((1),(0),(1))$ in due modi: uno attraverso il calcolo delle matrici di cambiamento di base $M$ e $M^(-1)$ , l'altro direttamente senza le matrici di cambiamento di base.
Con il primo metodo mi viene $[[2,0,1],[0,1,1],[1,2,0]]$ (ho controllato su un calcolatore on-line e sembra corretto) . Per il secondo metodo pensavo di scrivere ciascun vettore colonna di $L$ come combinazione lineare di $v_1 , v_2 , v_3$ e riportare in colonna i coefficienti così ottenuti, ma trovo una matrice diversa rispetto al primo metodo...perchè non va bene? In alternativa pensavo di procedere così: scrivo $L(v_1) = L((1),(1),(1)) = L ( e_1 + e_2 + e_3 ) = L(e_1) + L(e_2) + L(e_3) = ((1),(1),(0)) + ((2),(0),(1)) + ((0),(1),(2)) = ((3),(2),(3))$ e sarebbe la prima colonna della matrice cercata, ma è diversa dalla soluzione ottenuta col primo metodo. Dove sbaglio?
Grazie
ho trovato un esercizio in cui viene chiesta la matrice associata ad un'applicazione rispetto ad una base diversa da quella nella quale mi viene data.
Data la matrice $[L] = [[1,2,0],[1,0,1],[0,1,2]]$ la matrice associata ad $L$ (biiettiva) rispetto alla base canonica di $RR^3$ calcolare la matrice associata rispetto alla base $v_1 = ((1),(1),(1))$ $v_2 = ((0),(1),(1))$ $v_3 = ((1),(0),(1))$ in due modi: uno attraverso il calcolo delle matrici di cambiamento di base $M$ e $M^(-1)$ , l'altro direttamente senza le matrici di cambiamento di base.
Con il primo metodo mi viene $[[2,0,1],[0,1,1],[1,2,0]]$ (ho controllato su un calcolatore on-line e sembra corretto) . Per il secondo metodo pensavo di scrivere ciascun vettore colonna di $L$ come combinazione lineare di $v_1 , v_2 , v_3$ e riportare in colonna i coefficienti così ottenuti, ma trovo una matrice diversa rispetto al primo metodo...perchè non va bene? In alternativa pensavo di procedere così: scrivo $L(v_1) = L((1),(1),(1)) = L ( e_1 + e_2 + e_3 ) = L(e_1) + L(e_2) + L(e_3) = ((1),(1),(0)) + ((2),(0),(1)) + ((0),(1),(2)) = ((3),(2),(3))$ e sarebbe la prima colonna della matrice cercata, ma è diversa dalla soluzione ottenuta col primo metodo. Dove sbaglio?
Grazie
Risposte
La matrice $[L] = [[1,2,0],[1,0,1],[0,1,2]] $ è data rispetto alla base canonica $\mathcal(E)={e_1,e_2,e_3} $
Il ragionamento che hai fatto è giusto in parte: occorre passare dalla base $\mathcal(E)$ alla base $\mathcal(V)$, quindi bisogna ricavare le immagini dei vettori di $\mathcal(E)$ e scriverli come C.L. di $\mathcal(V)$
Il ragionamento che hai fatto è giusto in parte: occorre passare dalla base $\mathcal(E)$ alla base $\mathcal(V)$, quindi bisogna ricavare le immagini dei vettori di $\mathcal(E)$ e scriverli come C.L. di $\mathcal(V)$
devi scrivere le immagini dei vettori dell'applicazione L come combinazione lineare dei vettori della nuova base.
EDIT: vedo che mi hanno preceduto.
EDIT: vedo che mi hanno preceduto.
Non è ciò che ho fatto? Ad esempio l'immagine del vettore $e_1$ , cioè $L(e_1) = ((1),(1),(0)) = \lamda_1 v_1 + \lamda_2 v_2 + \lamda_3 v_3 = 2v_1 -1v_2 -1v_3 = ((2),(-1),(-1))$ a questo punto credevo di aver trovato la prima colonna : tuttavia pensandoci meglio ho trovato $L(e_1)$ scritto rispetto a $v_1,v_2,v_3$ ma ciò che dovrei scrivere è $L(v_1)$ che credo sia diverso da $L(e_1)$. Potreste essere più specifici per favore?
"RuCoLa":
Potreste essere più specifici per favore?
In generale, data una funzione $f: V->W$ lineare, e ponendo $\mathcal(A)$ come base di $V$ e $\mathcal(B)$ come base di $W$.
Poiché $f(v_1),...,f(v_n) in W$,
ciascuno di essi si scrive in un unico modo come C.L. dei vettori di $\mathcal(B)$.
Pertanto $M_(BA)(f)$ è la matrice associata che ha per colonna le immagini dei vettori di $\mathcal(A)$ rispetto a $\mathcal(B)$:
cioè le colonne sono le componenti $[f(v_i)]_B$
Tale matrice $M_(BA)$ prende il nome di matrice associata rispetto alle basi $\mathcal(A)$ e $\mathcal(B)$ !
Poiché $f(v_1),...,f(v_n) in W$,
ciascuno di essi si scrive in un unico modo come C.L. dei vettori di $\mathcal(B)$.
Pertanto $M_(BA)(f)$ è la matrice associata che ha per colonna le immagini dei vettori di $\mathcal(A)$ rispetto a $\mathcal(B)$:
cioè le colonne sono le componenti $[f(v_i)]_B$
Tale matrice $M_(BA)$ prende il nome di matrice associata rispetto alle basi $\mathcal(A)$ e $\mathcal(B)$ !
"RuCoLa":
Non è ciò che ho fatto?
"RuCoLa":
$ L(v_1) = L((1),(1),(1)) = L ( e_1 + e_2 + e_3 ) = L(e_1) + L(e_2) + L(e_3) = ((1),(1),(0)) + ((2),(0),(1)) + ((0),(1),(2)) = ((3),(2),(3)) $
Hai preso $v_1=(e_1,e_2,e_3)$, applicato la funzione $L(v_1)=L(e_1,e_2,e_3)$ e hai utilizzato la linearità: così facendo hai trovato l'immagine del vettore $v_1$ cioè $f(v_1)=((3),(2),(3))$
Come vedi sopra, sono le immagini dei vettori di partenze a dover esser scritte come C.L. dei vettori della base di arrivo.
P.S. prova a dare un'occhiata qui viewtopic.php?f=37&t=156972&p=976848&hilit=matrice+associata#p976848
Mmmm la matrice che mi viene data è la matrice associata $L_(A A)$ della funzione $f$ da $A$ ad $A$ dove $A = span(e_1,e_2,e_3)$ e associa a $f(e_1)$ una C. L. di $(e_1,e_2,e_3)$ (in particolare $f(e_1) = 1e_1 + 1e_2 +0e_3$ ). Quindi io sto cercando la matrice della stessa funzione che vada da $B$ a $B$ dove $B = span(v_1,v_2,v_3)$ quindi devo scrivere nella prima colonna $f(v_1)$ come combinazione lineare di $v_1,v_2,v_3$. Sbaglio?
Base di partenza e base di arrivo coincidono, cioè se $f(e_1)$ è C.L. di $A$ allora $f(v_1)$ è C.L. di $B$
"Magma":[/quote]
[quote="RuCoLa"]
Come vedi sopra, sono le immagini dei vettori di partenze a dover esser scritte come C.L. dei vettori della base di arrivo.
Base di partenza e base di arrivo coincidono, cioè se $f(e_1)$ è C.L. di $A$ allora $f(v_1)$ è C.L. di $B$
"RuCoLa":
Mmmm la matrice che mi viene data è la matrice associata $L_(A A)$ della funzione $f$ da $A$ ad $A$ dove $A = span(e_1,e_2,e_3)$ e associa a $f(e_1)$ una C. L. di $(e_1,e_2,e_3)$ (in particolare $f(e_1) = 1e_1 + 1e_2 +0e_3$ ).
Quindi io sto cercando la matrice della stessa funzione che vada da $B$ a $B$ dove $B = span(v_1,v_2,v_3)$ quindi devo scrivere nella prima colonna $f(v_1)$ come combinazione lineare di $v_1,v_2,v_3$. Sbaglio?
Ah, capito. Stai cercando la matrice $M_B(L)$, tale matrice sono solito chiamarla matrice rappresentativa.
Allora stavi facendo giusto, ma ti manca un ultimo passaggio:
$ L(v_1) = L((1),(1),(1)) = L ( e_1 + e_2 + e_3 ) = L(e_1) + L(e_2) + L(e_3) = ((1),(1),(0)) + ((2),(0),(1)) + ((0),(1),(2)) = ((3),(2),(3)) $
Nella matrice rappresentativa devi inserire le componenti dell'immagine del vettore rispetto alla stessa base:
$[f(v_1)]_B=[((3),(2),(3))]_B=((2),(0),(1))$
Hai ragione!! Grazie mille.
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