Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Questo è il testo dell'esercizo potete dare uno sguardo al procedimento che ho seguito per dirmi se lo svolgimento è corretto?E se fosse un esercizio di un compito sarebbe sufficientemente giustificato?
Sia f : R3 → R3 l’endomorfismo tale che $\vec v = (1,−1,2)$ appartenga a $\kerf$ e, inoltre, $\f(0,0,−1) = (1,−1,0), f(1,1,0) = (2,0,−4)$
(a) Determinare f esplicitamente.
(b) Determinare $\kerf$ e $\Imf$.
(c) Stabilire se $\f$ e semplice.
.
(a)
Se $\vec v in ker f => f(v)=vec 0$
Ora imposto ...
Ciao avrei bisogno di un aiuto per questo problema:
-Scrivere una terna di numeri direttori della retta di $E^3$ ortogonale alla retta
$r: \{(x-y+z=1),(x-2z=0):} $
e parallela al piano $\pi : x-y+z=1$
Ricavando le direzioni $\vecv_r = (-2,3,1)$ mentre $\vecn_pi =(1,-1,1)$
Io avevo pensato a questo ragionamento, devo trovare un vettore direttore $\vecw_s$ della retta $s$ in modo che il prodotto scalare tra $\vecw_s * \vecv_r = 0 $ dato che ...
Ciao,
devo trovare le equazioni degli autospazi di T e dei loro complementi ortogonali rispetto ad una matrice A
\[\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 &1 &-1 & 0\\ 1 & 4 & 3 &0 \\ -3 &0 &0 &0 \end{pmatrix}\]
Poi devo trovare le basi ortogonali per tali autospazi e devo dire se A e diagonalizzabile.
Ho iniziato con il calcolo degli autovalori (2-\lambda )((1-\lambda)(-3-\lambda)(2-\lambda)4)+3((1-\lambda)(-3-\lambda )+4)\] ma mi trovo con \[(\lambda ^2-4\lambda +7)(\lambda +1)^2)\]
che non so ...
Dati tre piani $a_1$, $a_2$ , $a_3$ in R 3 , se $a_1$ $nn $ $a_2$ $!=$ $\phi $ ,
$a_2$ $nn $ $a_3$ $!=$ $\phi $ ,
$a_1$ $nn $ $a_3$ $!=$ $\phi $
Allora il sistema dato dalle loro tre equazioni ha almeno una soluzione. Vero o falso ?
Se mi potete spiegare il perché e un link ...
Buongiorno ragazzi,
ho un problema con il seguente esercizio:
Determinare la parabola del piano euclideo, avente per asse la retta $r: x+2y-3=0$ e tangente alla retta $s:y-2=0$ nel punto $A=(3,2)$.
Il ragionamento che ho fatto è il seguente:
Essendo la retta r l'asse di simmetria di questa parabola posso trovare il punto $ A' $ simmetrico ad $A$ rispetto alla retta r. (eseguendo i calcoli trovo le coordinate di $A'=(7/5,-6/5)$)
Cerco ora la ...
Ciao ragazzi sto preparando un esame di geometria e mi sto esercitando soprattutto sulle tracce che il mio prof ha messo online, solo che ha postato le tracce senza la soluzione ora io non voglio chiedervi di risolvere l'esercizi ma sareste disposti a dirmi se sbaglio i procedimenti (senza troppi calcoli)?
1.Fissato nello spazio ordinario un sistema di riferimento cartesiano $\RC(O,i,j,k)$, si consideri il piano $\π : 4x+3y−12 = 0$ e la retta $\r : y = z−1 = 0$.
(a) Scrivere l’equazione della ...
Sono davanti a un esercizio dove mi chiede di calcolare la matrice inversa sinistra della matrice
A (-4 3
-1 1
0 2 )
Che ha come prima colonna ( 1
-1 )
Sapete aiutarmi ?
Ciao a tutti ho dei problemi a capire e risolvere questi due esercizi:
1-Scrivere le equazioni parametriche della generica retta di $E^3$ ortogonale al piano $x-y-3z=1$
2-Scrivere l'equazione cartesiana del generico piano di $E^3$ parallelo al piano $x-y-3z=1$
1-Una retta è ortogonale al piano quando il prodotto scalare tra i vettori direttori della retta e del piano è uguale a 0 giusto?
Il vettore direttore del piano sarebbe ...
Ciao ragazzi, ho un dubbio: gli elementi di un generico campo si definiscono sempre come scalari? Il mio libro li ha chiamati scalari soltanto quando ha introdotto il concetto di spazio vettoriale e quindi mi è venuto il dubbio che si potessero chiamare così solo in questo contesto. In altre parole: esistono esempi di campi i cui elementi non siano numeri e quindi non siano scalari?
Buonasera, ho qualche dubbio, sull'applicazione del metodo di Gauss. Applicando il metodo di Gauss scambio due righe di un sistema di equazioni, il risultato, o meglio il valore delle incognite non cambia giusto?
Sempre usando il metodo di Gauss, se volessi semplificare una matrice per calcolarne il determinante successivamente con il metodo di Laplace, dovrei scambiare un numero pari di righe o colonne per evitare che il determinante abbia segno opposto giusto?
Calcolare una base ortogonale dell'immagine della trasformazione lineare T : R3 -> R3 definita ponendo
$ T(x, y, z) =(2x + 2y + 4z, 3x + 3z, -3y -3z) $
-Per prima cosa sono andato a ridurre con gauss la matrice formata dai vettori e quindi ad estrarre una base dell' immagine = (3,0,0),(0,3,0)
-poi ho applicato gram-schmidt
$ w1=v1=(3,0,0) $
$ w2=(0,3,0)-(((0,3,0)*(3,0,0))/((3,0,0)*(3,0,0)))*(3,0,0) $
tuttavia anche senza fare il conto so di aver sbagliato qualcosa: infatti la prima dovrebbe portare (2,3,0) e la seconda (6,-4,-13)
Sto sbagliando qualcosa nel ...
E' arrivato il rognoso momento di imparare le dimostrazioni del programma del fatidico esame di Algebra Lineare. Prendo le mie belle dimostrazioni, riscritte in bella copia,e comincio il mio lavoro,riuscendo anche bene.
Minkowski e Schwarz invece mi hanno dato problemi,e vi spiego perchè: il mio professore ha dato la sua bella dimostrazione, commentandola a lezione. Non riesco a ricordare i suoi commenti, e non decifro il meccanismo logico dietro la dimostrazione. Ho cercato su internet una ...
Salve
spesso ho difficoltà aritmetiche nella riduzione del polinomio caratteristico ad una forma "consona" per studiare gli autovalori.
posto un esempio :
$ P(T) = | ( (-2-T, -1 , 0,0), (2,1-T,0,0),(0,0,-2-T,1),(0,0,1,-2-T)) | $
Uso il teorema di Laplace applicato alla prima riga , in modo da calcolare il determinante 4x4 di quest'ultima .
$(-1)^(1+1) (-2-T) *((1-T,0,0),(0,-2-T, 1),(0,1,-2-T)) = (- T^3 - 3T^2 + T + 3)(-2 - T) = T^4 + 5T^3 + 5T^2 - 5T - 6$
a cui va sommato/sottratto il secondo sottodeterminante, ovvero
$(-1)^3* (-1) * ( (-2-T,0,0),(2,-2-T,1),(0,1,-2-T)) = - T^3-6T^2-11T-6 $
sommati danno $det = T^4+4T^3-T^2-16T-12$
Completamente diverso dal risultato che ho sul compito svolto
ovvero , ...
Devo trovare gli autovalori, diagonalizzare e definire il Kel della seguente matrice.
\[\begin{pmatrix} 3 &0 &0 &0 \\ 0 & -1 & -2 & 0\\ 0 & -6 & 0&0 \\ 0& 0 &0&-4 \end{pmatrix}\]
Purtroppo svolgendo l'esercizio e mettendo il parametro Lambda ottengo un'equazione caratteristica che non riesco a risolvere.
\[\left ( \lambda -3 \right )\left (\lambda ^3+5\lambda ^2-8\lambda -48) \right )\]
Sbaglio qualcosa nei passaggi prima? Con Ruffini non ne vengo fuori.
Poi per diagonalizzarla vedo se la ...
dala la matrice
\[\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & \sqrt{3}\\ 2 & 0 & 0\\ 0& \sqrt{3} &-1 \end{pmatrix}\]
devo determinare gli elementi caratteristici dell'operatore isometrico.
La matrice è ortogonale e non simmetrica, quindi si tratta di una rotazione. La traccia è -1, il determinante 3/2.
Il determinante non dovrebbe essere 1 o -1? Ora prendo lambda=3/2 e dell'autospazio che ne risulta prendo il minore di ordine 2? Ho un po' di confusione su questi passaggi.
Grazie.
Ciao a tutti, chiedo gentilmente una mano su questo esercizio capitatomi in un test:
sia $L:R^3 -> R^2$ un'applicazione lineare tale che:
$L=((0, 1, 1))=(-1, 1)<br />
L((-1, 0, 1))=(0, 0)<br />
L=((1, 0, 0))=(-2, 2).$
a) Stabilire se L è unica.
b) Calcolare:
$L((1, 1, 1))<br />
L^-1{(1, 0)}<br />
L^-1{(1, -1)}.$
Riguardo il punto a) non ho nessuna idea di risposta. Il punto b) invece l'ho già incontrato in esercizi in cui dominio e codominio erano costituiti da vettori linearmente indipendenti. In quel caso non ho avuto problemi, ma questo è diverso e non so come fare.
Ringrazio in ...
Salve a tutti, mi servirebbe una mano per capire una tipologia di esercizio in cui mi chiede di determinare le equazioni nella base naturale dei seguenti sottospazi di $RR^4$ :
$U={(0,1,-1,0),(1,-1,2,0),(2,-2,4,0)}$
$V={(0,-1,-1,0),(0,1,-1,0),(1,0,0,1)}$
Per quanto ho capito le equazioni della "base naturale" (o base canonica?) sarebbero le equazioni cartesiane ricavate da un sistema di generatori?
-Qualcuno mi può dare la definizione specifica di "determinare le equazioni della base naturale"?
Passando all'esercizio se ...
Ciao a tutti, avrei una domanda, forse stupida, su una frase del mio testo di Geometria,
"uno spazio vettoriale è un insieme dotato di alcune strutture algebriche che modellano la nostra esperienza di muoversi tra i punti di uno spazio geometrico".
Da quello che so una struttura algebrica è un insieme dotato di almeno un'operazione; si intende dire che si definiscono degli insiemi di particolare utilità all'interno dello spazio vettoriale o si fa semplicemente riferimento, con un po' di abuso ...
Salve, non riesco a capire una cosa riguardo il fibrato principale associato a un fibrato. Inizio con un po' di definizioni per essere più chiaro e poi spiego il problema.
In quanto segue, suppongo che $G$ sia un gruppo topologico che agisce in maniera continua su uno spazio topologico $F$ e che questa azione sia fedele. In questo modo c'è un'iniezione canonica $G \to S(F)$ dove $S(F)$ è il gruppo degli omeomorfismi di $F$. Perciò, ...
Ciao a tutti, non so se sia la sezione giusta ma non sapevo dove altro metterla.
All'università abbiamo trattato il "problema della buona definizione" cosi l'ha definito la mia professoressa.
Sostanzialmente si tratta di verificare se una equazione data è una funzione.
Esempio
Provare che $f:(ZZ_6, +)\rightarrow(S_10, ○)$ dato da $f([a]) = sigma^a$ è una funzione.
La permutazione che consideriamo in $S_10$ ha periodo $6$ ed è la seguente:
$(1 5 10)(2 4 6 8 3 7)$
Quel che ho capito è che ...
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