Indipendenza lineare e Gauss

[Pinturicchio10]

Ciao ragazzi, volevo chiarirmi un dubbio. Perche' una matrice ridotta a scala con tutti i pivot non nulli ha tutte le righe indipendenti?
Intuisco che se impongo la dipendenza lineare vedo che il primo coefficiente si annulla, quindi il secondo e cosi via fino a constatare che si annullano tutti quanti, ma volevo una dimostrazione formale. Non so, se qualcuno di voi ne abbia una chiara, grazie.

[Pappappero1]

Quella che suggerisci e' proprio una dimostrazione formale. Se $a_1,..., a_k$ sono le righe della tua matrice, vogliamo dimostrare che $c_1 a_1 + ... + c_k a_k = 0$ ha come unica soluzione $c_1 = ... = c_k = 0$. E la dimostrazione che suggerisci ti fornisce la risposta in un passaggio, proprio come hai detto tu. Se proprio proprio vuoi essere molto formale, puoi scrivere una riga in piu' e usare il principio di induzione su $k$.

[Pinturicchio10]

Riusciresti per favore a formalizzare tu la cosa...non capisco perchè la mia "Intuizione" è già una dimostrazione formale. O meglio, non riesco a formalizzarla. Mi riesci ad aiutare?