Spazio delle derivazioni su germi di funzioni continue
Salve a tutti, devo dimostrare che lo spazio delle derivazioni sui germi di funzioni continue si riduce alla sola derivazione nulla, sono due ore che impazzisco nel tentativo di fare questa dimostrazione, ma mi blocco in partenza:
$\forall[f]inmathcal{C}(mathbb{R} ), D[f]=D[sqrt{f}*sqrt{f}]=2[sqrt{f}]D[sqrt{f}]$.
A questo punto dovrei ricondurmi a qualcosa che mi implica $\D[sqrt{f}]=0$ ma sono veramente disperato, non ho mai trattato questi argomenti, ed il professore ce li ha trattati solo per prepararci al vero corso di geometria differenziale che affronteremo alla magistrale...
$\forall[f]inmathcal{C}(mathbb{R} ), D[f]=D[sqrt{f}*sqrt{f}]=2[sqrt{f}]D[sqrt{f}]$.
A questo punto dovrei ricondurmi a qualcosa che mi implica $\D[sqrt{f}]=0$ ma sono veramente disperato, non ho mai trattato questi argomenti, ed il professore ce li ha trattati solo per prepararci al vero corso di geometria differenziale che affronteremo alla magistrale...
Risposte
Non ho capito il problema!, cioè: la derivazione di un germe di una funzione derivabile in un punto è nulla se e solo se si tratta del germe di una funzione costante!
Tu che intendi?
Tu che intendi?
Devo dimostrare che lo spazio delle derivazioni sui germi di funzioni continue in R si riduce alla sola derivazione nulla.
E' un esercizio in Abate Tovena Curve e superfici
E' un esercizio in Abate Tovena Curve e superfici
Come impostare la risposta a questa domanda dipende molto da come sono state definite queste cose.
Scelgo il modo di rispondere che mi sembra piu' chiaro. Fissiamo un punto $p \in \mathbb{R}$ e chiamiamo $C_p^0$ l'anello dei germi di funzione definiti in un intorno di $p$. Questo e' un anello locale, con ideale massimale $\mathfrak{m}_p = \{ f \in C_p^0: f(p) = 0\}$ (perche'???? esercizio - che si risolve con materiale di analisi 1 - forse anche meno).
Il nostro obiettivo e' dimostrare che $\mathfrak{m}_p = \mathfrak{m}_p^2$, ovvero che ogni funzione continua $f$ definita in un intorno di $p$ che fa $0$ in $p$ puo' essere scritta come prodotto di due funzioni continue definite in intorni (magari piu' piccolini) di $p$ e che fanno $0$ in $p$.
Quindi abbiamo tradotto il problema nel seguente problema. Vogliamo dimostrare che se $f$ e' una funzione continua definita in un intorno di $p$, e $f(p) = 0$ allora esistono $g,h$ continue in un intorno di $p$ tali che $f = gh$ in un intorno di $p$ e $g(p) = h(p) = 0$. E ora puoi provare a modificare un pochino l'esempio che hai nel primo post per trovare la risposta.
Scelgo il modo di rispondere che mi sembra piu' chiaro. Fissiamo un punto $p \in \mathbb{R}$ e chiamiamo $C_p^0$ l'anello dei germi di funzione definiti in un intorno di $p$. Questo e' un anello locale, con ideale massimale $\mathfrak{m}_p = \{ f \in C_p^0: f(p) = 0\}$ (perche'???? esercizio - che si risolve con materiale di analisi 1 - forse anche meno).
Il nostro obiettivo e' dimostrare che $\mathfrak{m}_p = \mathfrak{m}_p^2$, ovvero che ogni funzione continua $f$ definita in un intorno di $p$ che fa $0$ in $p$ puo' essere scritta come prodotto di due funzioni continue definite in intorni (magari piu' piccolini) di $p$ e che fanno $0$ in $p$.
Quindi abbiamo tradotto il problema nel seguente problema. Vogliamo dimostrare che se $f$ e' una funzione continua definita in un intorno di $p$, e $f(p) = 0$ allora esistono $g,h$ continue in un intorno di $p$ tali che $f = gh$ in un intorno di $p$ e $g(p) = h(p) = 0$. E ora puoi provare a modificare un pochino l'esempio che hai nel primo post per trovare la risposta.
Grazie infinite, nè in classe nè sul libro di testo vengono minimamente affrontati i concetti di ideale, di anello e nemmeno quegli insiemi che hai definito tu... purtroppo senza la tua dritta non ce l'avrei mai fatta. le dimostrazioni sono state facilissime in quanto richiedono solo logica algebrica, quando ho tempo provo a postare il mio svolgimento così potrai dirmi se ho sbagliato
Queste cose si possono definire in modo abbastanza elementare senza tirare fuori queste nozioni algebriche.
Personalmente l'approccio 'algebrico' mi piace perche' e' facilmente generalizzabile, e quando si fa geometria differenziale la corrispondenza tra la definizione algebrica in termini di ideale al quadrato e quella di derivazione proprio intesa come derivata direzionale e' molto intuitiva.
Comunque, mi sono accorto che ho saltato un passo fondamentale. In effetti lo spazio delle derivazioni in $p$ e' canonicamente isomorfo (diciamo come spazio vettoriale, ma in realta' un po' di piu') a \((\mathfrak{m}_p / \mathfrak{m}_p^2)^\vee\) dove l'apice \({}^\vee\) indica lo spazio duale. Percio' dimostrare che $\mathfrak{m}_p = \mathfrak{m}_p^2$, dimostra che \(\mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}_p^2\) e' nullo, e quindi anche il suo duale e' nullo.
Personalmente l'approccio 'algebrico' mi piace perche' e' facilmente generalizzabile, e quando si fa geometria differenziale la corrispondenza tra la definizione algebrica in termini di ideale al quadrato e quella di derivazione proprio intesa come derivata direzionale e' molto intuitiva.
Comunque, mi sono accorto che ho saltato un passo fondamentale. In effetti lo spazio delle derivazioni in $p$ e' canonicamente isomorfo (diciamo come spazio vettoriale, ma in realta' un po' di piu') a \((\mathfrak{m}_p / \mathfrak{m}_p^2)^\vee\) dove l'apice \({}^\vee\) indica lo spazio duale. Percio' dimostrare che $\mathfrak{m}_p = \mathfrak{m}_p^2$, dimostra che \(\mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}_p^2\) e' nullo, e quindi anche il suo duale e' nullo.
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