Da $beta(s)$ a $beta(t)$

[marco.ceccarelli]

Buonasera,

non riesco a disegnare una curva. L'esercizio è il seguente, in cui metto come testo nascosto le parti precedenti.

Data la curva $alpha:[0,L] rarr RR^2$, parametrizzata dall'ascissa curvilinea, e dato un numero $r>0$, si consideri la curva $beta:[0,L] rarr RR^2$ definita da: $beta(s)=alpha(s)+rN_alpha(s)$, dove $N_alpha(s)=Jalpha'(s)$ è il versore normale di $alpha$.

$a)$ Per quali valori di $r$ la curva $beta$ è regolare in $s$?

$beta'(s)=alpha'(s)+rN_alpha'(s)=T_alpha(s)-rk_alpha(s)T_alpha(s)=(1-rk_alpha(s))T_alpha(s)$

$|beta'(s)|=1-rk_alpha(s)!=0 harr r!=1/(k_alpha(s))$

$b)$ Per tali valori calcolare la curvatura di $beta$.

$T_beta(s):=beta'(s)$

$T_beta'(s)=beta''(s)=(1-rk_alpha(s))T_alpha'(s)=k_alpha(s)(1-rk_alpha(s))N_alpha(s)$

$N_beta(s):=JT_beta(s)=(1-rk_alpha(s))N_alpha(s)$

$k_beta(s):= =k_alpha(s)(1-rk_alpha(s))^2$

$c)$ Se $alpha$ parametrizza la circonferenza di raggio $R$, qual è la traccia di $beta$? In generale, dare un'interpretazione della traccia di $beta$.

$alpha(t)=((Rcost),(Rsint)),t in [0,2pi] rarr alpha'(t)=((-Rsint),(Rcost)) rarr |alpha'(t)|=R$

$s=int_0^t|alpha'(u)|du=Rt rarr t=s/R$

$alpha(s)=((Rcos(s/R)),(Rsin(s/R))) rarr T_alpha(s):=alpha'(s)=((-sin(s/R)),(cos(s/R)))$

$N_alpha(s):=JT_alpha(s)=((-cos(s/R)),(-sin(s/R)))$

$beta(s)=(((R-r)cos(s/R)),((R-r)sin(s/R)))$

Ora, $beta(s)$ non mi pare una circonferenza perché altrimenti sarebbe stata $beta(s)=(((R-r)cos(s/(R-r))),((R-r)sin(s/(R-r)))),R>=r$ o $beta(s)=(((r-R)cos(s/(r-R))),((r-R)sin(s/(r-R)))),R
Grazie.

[billyballo2123]

"Bubbino1993":
Ora, $beta(s)$ non mi pare una circonferenza perché altrimenti sarebbe stata $beta(s)=(((R-r)cos(s/|R-r|)),((R-r)sin(s/|R-r|)))$.

E invece è proprio una circonferenza
Se poni $x=s/R$, ottieni
\[
\left( (R-r)\cos x, (R-r)\sin x\right),
\]
che è evidentemente una circonferenza centrata nell'origine di raggio $|R-r|$.

[marco.ceccarelli]

Grazie per la risposta.

Non ho capito solo una cosa. Se mi chiedessero di scrivere l'equazione parametrica di una circonferenza centrata nell'origine di raggio $R-r>0$, io scriverei $alpha(t)=(((R-r)cost),((R-r)sint)),t in [0,2pi]$. Per scriverla in dipendenza dell'ascissa curvilinea, dovrei fare alcuni passaggi.

$alpha'(t)=((-(R-r)sint),((R-r)cost)) rarr |alpha'(t)|=R-r rarr s=int_0^t|alpha'(u)|du=(R-r)t rarr t=s/(R-r) rarr alpha(s)=(((R-r)cos(s/(R-r))),((R-r)sin(s/(R-r))))$

Ma questa curva non è diversa da $beta(s)=(((R-r)cos(s/R)),((R-r)sin(s/R)))$? Cioè: ho capito che dici, ma quindi qualsiasi cosa sia argomento di seno e coseno la curva è sempre una circonferenza (per la $1°$ relazione fondamentale della trigonometria)???

Grazie.

[billyballo2123]

"Bubbino1993":Per scriverla in dipendenza dell'ascissa curvilinea, dovrei fare alcuni passaggi.

Se hai una circonferenza parametrizzata come
\[
\alpha(t)=
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
R\cos(\omega t) \\
R\sin(\omega t)
\end{pmatrix}
\qquad (R,\omega>0),
\]
allora il raggio è $R$, il centro è
\[\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0
\end{pmatrix}
\]
e la norma della velocità è $R\omega$.

Se vuoi scriverla in dipendenza dell'ascissa curvilinea devi fare il cambio di variabile $t(s)=s/(R\omega)$, così da ottenere
\[
\widetilde{\alpha}(s)=\alpha\big(t(s)\big)=
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
R\cos\big(\frac{s}{R}\big) \\
R\sin\big(\frac{s}{R}\big)
\end{pmatrix}
.
\]
Nel tuo caso il raggio era $R-r$ e $\omega=1$.

"Bubbino1993":Ma questa curva non è diversa da $β(s)$?

È diversa nel senso che ha una velocità diversa, ma il sostegno della curva (il grafico, per intenderci) è lo stesso.

"Bubbino1993":Cioè: ho capito che dici, ma quindi qualsiasi cosa sia argomento di seno e coseno la curva è sempre una circonferenza (per la 1° relazione fondamentale della trigonometria)???

Dipende: sicuramente data una qualunque funzione continua $f(t)$, si ha che tutti punti della curva
\[
\alpha(t)=
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
R\cos\big(\omega f(t)\big) \\
R\sin\big(\omega f(t)\big)
\end{pmatrix}
\]
sono tutti a distanza $R$ dal punto
\[
\begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0
\end{pmatrix}
,
\]
però non è detto che l'immagine di suddetta curva sia tutta la circonferenza. Ad esempio ponendo $x_0=y_0=0$, $R=1$, $\omega=1$ e $f(t)=\arctan(t)$ ($t\in\mathbb{R}$), hai la semicirconferenza destra centrata nell'origine di raggio $1$.

[marco.ceccarelli]

Chiarissimo, grazie.

[billyballo2123]

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