Vettore w di norma minima tale che v + w ∈ U

[ccragusa]

Salve. Ho trovato un esercizio che chiede di calcolare la norma minima di un vettore w tale che $ v + w ∈ U $ .

Il vettore v è $ v=(4,2,4,2) $

Per risolvere l'esercio ho trovato una base di $ U^_|_ $ che è $ U^_|_ =<(1,1,-2,0),(-2,0,1,-3)> $

In seguito ho scritto il vettore w come $ w=v + lambda(1,1,-2,0)+mu(-2,0,1,-3) $

cioè $ w=(1lambda-2mu+4,lambda+2,-2lambda+mu+4,-3mu+2) $

Poi ho sostituito le coordinate del vettore w nelle equazioni di U che sono:

$ { ( 2x1-x3+3x4=0 ),(x1+x2-2x4=0):} $

e ho trovato

$ { ( 2lambda-4mu+8+2lambda-mu-4-9mu+6=0 ),(lambda-2mu+4+lambda+2+6mu-4=0):} $

Risulta :

$ { (mu=3/11),(lambda=-17/11 ):} $

Dopo aver trovato il valore delle due incognite le ho sostituite qui $ w=(1lambda-2mu+4,lambda+2,-2lambda+mu+4,-3mu+2) $

e ho trovato il vettore w che dovrebbe essere quello di norma minima.

è corretto come ho svolto l'esercizio?

E se avessi dovuto trovare un vettore di norma minima v+w su $ U^_|_ $ ? Come avrei dovuto procedere? Prendendo i vettori di U e poi sostituirli nelle equazioni di $ U^_|_ $ ?

Grazie mille!