Determinare una trasformazione lineare
Buongiorno ragazzi,
stavo svolgendo degli esercizi per la preparazione all'esame di Algebra e mi sono imbattuto in questo esercizio:
Determinare, se esiste, la trasformazione lineare $T:R^4->R^3$ tale che:
$T(1,0,1,0)=(2,1,3)$
$T(0,-1,0,0)=(0,-1,1)$
$T(2,0,0,-2)=(4,0,4)$
$T(0,3,1,-1)=(0,4-4)$
Come prima cosa ho fatto la matrice:
$( ( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , -1 , 0 , 0 ),( 2 , 0 , 0 , -2 ),( 0 , 3 , 1 , -1 ) ) $
Facendo Laplace sulla seconda riga, il suo determinante è uguale a 4, quindi il rango di tale matrice è 4, quindi sono tutti vettori linearmente indipendenti.
Appurato questo, siamo sicuri che i vettori (1,0,1,0),(0,-1,0,0),(2,0,0,-2),(0,3,1,-1) costituiscono una base di $R^4$.
Come procedo adesso per determinare la trasformazione lineare?
Grazie
stavo svolgendo degli esercizi per la preparazione all'esame di Algebra e mi sono imbattuto in questo esercizio:
Determinare, se esiste, la trasformazione lineare $T:R^4->R^3$ tale che:
$T(1,0,1,0)=(2,1,3)$
$T(0,-1,0,0)=(0,-1,1)$
$T(2,0,0,-2)=(4,0,4)$
$T(0,3,1,-1)=(0,4-4)$
Come prima cosa ho fatto la matrice:
$( ( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , -1 , 0 , 0 ),( 2 , 0 , 0 , -2 ),( 0 , 3 , 1 , -1 ) ) $
Facendo Laplace sulla seconda riga, il suo determinante è uguale a 4, quindi il rango di tale matrice è 4, quindi sono tutti vettori linearmente indipendenti.
Appurato questo, siamo sicuri che i vettori (1,0,1,0),(0,-1,0,0),(2,0,0,-2),(0,3,1,-1) costituiscono una base di $R^4$.
Come procedo adesso per determinare la trasformazione lineare?
Grazie
Risposte
ciao,
c'è un teorema,di esistenza ed unicità di un 'applicazione lineare. Afferma che assegnate le immagini sui vettori di una base di uno spazio V, l'applicazione lineare da esse determinata è unica. Ora, tu hai notato che i vettori su cui applichi la trasformazione $T$, formano una base di $RR^4$.
Dunque la tua applicazione esiste.
Per determinarla, rispetto alla base canonica, devi trovare ovviamente le immagini dei vettori della base canonica e sfruttare sostanzialmente la linearità dell'applicazione.
Lo farò solo per il primo vettore della base canonica $e_1=[1,0,0,0]^T$
$ ((1),(0),(0),(0))=a*((1),(0),(1),(0))+b*((0),(1),(0),(0))+c*((2),(0),(0),(-2))+d*((0),(3),(1),(-1)) $.
Risolvi questo semplice sistema e trovi che i coefficienti sono $a=1/2,b=-3/2,c=1/4,d=-1/2$.
Ora viene il momento di sfruttare la linearità:
Poiche $T(alphav+betaw)=alphaT(v)+betaT(w)$, abbiamo che
$ T((1),(0),(0),(0))=-1/2*T((1),(0),(1),(0))-3/2*T((0),(1),(0),(0))+1/4*T((2),(0),(0),(-2))+-1/2*T((0),(3),(1),(-1)) $.
da cui: $T((1),(0),(0),(0))=[2,3/2,3/2]^T$
Analogamente puoi ricavare gli altri.
Una volta trovata la matrice, per ottenere la definizione dell'applicazione è sufficiente moltiplicare il generico vettore $[x,y,z,t]^T in RR^4$ per ottenere la definizione.
c'è un teorema,di esistenza ed unicità di un 'applicazione lineare. Afferma che assegnate le immagini sui vettori di una base di uno spazio V, l'applicazione lineare da esse determinata è unica. Ora, tu hai notato che i vettori su cui applichi la trasformazione $T$, formano una base di $RR^4$.
Dunque la tua applicazione esiste.
Per determinarla, rispetto alla base canonica, devi trovare ovviamente le immagini dei vettori della base canonica e sfruttare sostanzialmente la linearità dell'applicazione.
Lo farò solo per il primo vettore della base canonica $e_1=[1,0,0,0]^T$
$ ((1),(0),(0),(0))=a*((1),(0),(1),(0))+b*((0),(1),(0),(0))+c*((2),(0),(0),(-2))+d*((0),(3),(1),(-1)) $.
Risolvi questo semplice sistema e trovi che i coefficienti sono $a=1/2,b=-3/2,c=1/4,d=-1/2$.
Ora viene il momento di sfruttare la linearità:
Poiche $T(alphav+betaw)=alphaT(v)+betaT(w)$, abbiamo che
$ T((1),(0),(0),(0))=-1/2*T((1),(0),(1),(0))-3/2*T((0),(1),(0),(0))+1/4*T((2),(0),(0),(-2))+-1/2*T((0),(3),(1),(-1)) $.
da cui: $T((1),(0),(0),(0))=[2,3/2,3/2]^T$
Analogamente puoi ricavare gli altri.
Una volta trovata la matrice, per ottenere la definizione dell'applicazione è sufficiente moltiplicare il generico vettore $[x,y,z,t]^T in RR^4$ per ottenere la definizione.
Grazie, sei stato davvero molto gentile
Nessun problema l'importante è capire più che risolvere meccanicamente gli esercizi 
l'importante è capire più che risolvere meccanicamente gli esercizi
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