FORMA QUADRATICA
Salve, non riesco a fare il secondo punto di questo esercizio:
i)Classificare e determinare una forma diagonale della seguente forma quadratica di $R^3$:
$Φ(x_1,x_2,x_3) = 2x_1^2+ 4x_1x_3+x_2^2 −x_3^2$. Specificare inoltre la base di $R^3$ rispetto alla quale è ottenuta tale forma canonica.
ii) La forma $Φ$ è un prodotto scalare?
Sul primo punto non ci sono problemi, il problema sorge nel fatto se questa forma quadratica è o meno un prodotto scalare.
i)Classificare e determinare una forma diagonale della seguente forma quadratica di $R^3$:
$Φ(x_1,x_2,x_3) = 2x_1^2+ 4x_1x_3+x_2^2 −x_3^2$. Specificare inoltre la base di $R^3$ rispetto alla quale è ottenuta tale forma canonica.
ii) La forma $Φ$ è un prodotto scalare?
Sul primo punto non ci sono problemi, il problema sorge nel fatto se questa forma quadratica è o meno un prodotto scalare.
Risposte
$ {(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)} $
Ciao, so che magari è un pò tardi ma rispondo per chi potrebbe averne bisogno.
Un prodotto scalare è una forma bilineare simmetrica definita positiva.
Se una matrice associata ad una forma è simmetrica, di conseguenza anche la sua forma sarà simmetrica.
Inoltre trovando gli autovettori legati alla matrice associata, risultano essere tutti positivi e quindi la forma è definita positiva.
Pertanto la forma quadratica in questione è un prodotto scalare.
Riguardo il primo punto avrei io dei dubbi riguardo la base di $ R^3 $ rispetto alla quale è ottenuta tale forma canonica.
Trovata la matrice D tale che $ D=P^-1 * A * P $ , ovvero la matrice diagonalizzante, la base di $ R^3 $ ,rispetto alla quale è ottenuta la forma canonica, è data dai vettori colonna della matrice D?
La matrice D ottenuta è $ [(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)] $ quindi la base di $ R^3 $ che resistuisce la forma canonica è $ B={(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)} $ ?
"dotor46":
ii) La forma $ Φ $ è un prodotto scalare?
Sul primo punto non ci sono problemi, il problema sorge nel fatto se questa forma quadratica è o meno un prodotto scalare.
Ciao, so che magari è un pò tardi ma rispondo per chi potrebbe averne bisogno.
Un prodotto scalare è una forma bilineare simmetrica definita positiva.
Se una matrice associata ad una forma è simmetrica, di conseguenza anche la sua forma sarà simmetrica.
Inoltre trovando gli autovettori legati alla matrice associata, risultano essere tutti positivi e quindi la forma è definita positiva.
Pertanto la forma quadratica in questione è un prodotto scalare.
"dotor46":
Salve, non riesco a fare il secondo punto di questo esercizio:
i)Classificare e determinare una forma diagonale della seguente forma quadratica di $ R^3 $:
$ Φ(x_1,x_2,x_3) = 2x_1^2+ 4x_1x_3+x_2^2 −x_3^2 $. Specificare inoltre la base di $ R^3 $ rispetto alla quale è ottenuta tale forma canonica.
Riguardo il primo punto avrei io dei dubbi riguardo la base di $ R^3 $ rispetto alla quale è ottenuta tale forma canonica.
Trovata la matrice D tale che $ D=P^-1 * A * P $ , ovvero la matrice diagonalizzante, la base di $ R^3 $ ,rispetto alla quale è ottenuta la forma canonica, è data dai vettori colonna della matrice D?
La matrice D ottenuta è $ [(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)] $ quindi la base di $ R^3 $ che resistuisce la forma canonica è $ B={(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)} $ ?
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