Dimensione e base di un sottospazio vettoriale definito da un polinomio.

[tokask]

Non riesco a determinare la dimensione e la base del seguente sottospazio vettoriale definito da un polinomio, come si deve procedere ?
$ U={p(x) in R<= 4 : p(-sqrt(2) )=p(sqrt(2) )=0} $

Ho fatto un tentativo e ottengo $dim(U)=4$ ma non sono sicuro del procedimento che ho adottato .

[anto_zoolander]

Comincia esponendo il tuo procedimento, così partiamo da quello

[tokask]

Ho preso esempio da altri esercizi simili ed ho impostato la soluzione come segue:

$ U={p(x) in R<= 4 : p(-sqrt(2) )=p(sqrt(2) )=0} $

Polinomio generico $R<=4 ax^4+bx^3+cx^2+dx+e $

$ p(-sqrt(2))=p(sqrt(2))=0 rArr 4a-2sqrt(2)+2c-sqrt(2)d+e=4a+2sqrt(2)b+2c+sqrt(2)d+e=0 rArr$

$ rArr 4a+2c+e=0 rArr e= -4a-2c $

$p(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+(-4a-2c)=0$

$(a,b,c,d,e)=(a,b,c,d,-4a-2c)=a(1,0,0,0,-4)+b(0,1,0,0,0)+c(0,0,1,0,-2)+d(0,0,0,1,0)$

$dim(U)=4$

$Base = (x^4-4,x^3,x^2-2,x)$

[anto_zoolander]

Scusa l'attesa.
Intanto se posso darti un consiglio, non prendere nulla a esempio ma cerca ogni volta di ragionarci su, perché l'imprevisto è sempre lì bello felice che ti aspetta a braccia aperte

Non ho ben capito se sia $p(sqrt2)=p(-sqrt2)$ oppure $p(sqrt2)=0$ e $p(-sqrt2)=0$

Se il caso è il secondo si ha:
$U={p(x)inRR_4[x]:p(sqrt2)=0 wedge p(-sqrt2)=0}$

Il polinomio generico è $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$

$p(sqrt2)=0=>a_0+a_1sqrt2+2a_2+2a_3sqrt2+4a_4=0$
$p(-sqrt2)=0=>a_0-a_1sqrt2+2a_2-2a_3sqrt2+4a_4=0$

Dovendo essere entrambe vere, puoi metterle a sistema
Dalla somma membro membro si ottiene

${(2a_0+4a_2+8a_4=0),(a_0+a_1sqrt2+2a_2+2a_3sqrt2+4a_4=0):}$

${(a_0+2a_2+4a_4=0),(a_1sqrt2+2a_3sqrt2=0):}$

${(a_0=-2a_2-4a_4),(a_1=-2a_3):}$

Dunque [size=115]$U={p(x)=-2a_2-4a_4-2a_3x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4|a_2,a_3,a_4inRR}$[/size]

$dim_(RR)U=3$

$B_U={-2+x^2,-2x+x^3,-4+x^4}$

Se noti tu hai ottenuto un polinomio che non si annulla in $sqrt2$

[size=115]$p(sqrt2)=4a+2sqrt2b+2c+sqrt2d-4a-2c=2sqrt2b+sqrt2d$[/size]

Nota bene che i due casi sono totalmente diversi infatti
$[p(sqrt2)=0wedgep(-sqrt2)=0]=>p(sqrt2)=p(-sqrt2)$

Ma viceversa non è vero poiché se fosse $p(sqrt2)=p(-sqrt2)$ non sarebbe detto che entrambi siano uguali a zero, sai solo che $p(sqrt2)=awedgep(-sqrt2)=a$ ovvero in quei due punti assumono uno stesso valore, ma non puoi concludere che sia $a=0$
A meno che non sia $[p(sqrt2)=p(-sqrt2)]wedge[p(sqrt2)=0wedgep(-sqrt2)=0]$
Ma in questo caso avresti che la seconda implicherebbe la prima

Nel secondo caso si avrebbe $p(sqrt2)=p(-sqrt2)$
$a_0+2a_2+4a_4=0=>a_0=-2a_2-4a_4$

[size=115]$U={p(x)=-2a_2-4a_4+a_1x+a_2x^2+a_3x^4+a_4x^4|a_1,a_2,a_3,a_4inRR}$[/size]

nota che $p(sqrt2)=p(-sqrt2)=a_1sqrt2+2a_3sqrt2$
Se ponessi la seconda condizione $p(sqrt2)=0$ otterrei esattamente il caso precedente
Infatti la seconda equazione del sistema, poi è proprio quel pezzo.
$a_1sqrt2+2a_3sqrt2$ sarebbe quel '$a$' di cui scrivevo poco prima

$dim_(RR)U=4$

$B_U={-2+x^2,x,x^3,-4+x^4}$

Che è praticamente quello che hai trovato tu.
Quindi occhio a come scrivi le condizioni perché può cambiare l'esito di un esercizio
Sopratutto fai una verifica che non è mai una cosa in più.

[tokask]

Anzitutto grazie infinite per la tua risposta e del chiarimento , passo allo studio della soluzione/i che mi hai inviato.
Riguardo la definizione dell'esercizio e alla sua interpretazione è per questo che sono ricorso al forum per avere chiarimenti; comunque riporto la scrittura esatta dell'esercizo, questa sarebbe la prima parte dove viene definito il primo sotto spazio vettoriale ed è quella che mi ha creato più incertezza.

$U={p(x)inRR_4[x]:p(-sqrt2)=p(sqrt2)=0}$

[Magma1]

"tokask":Riguardo la definizione dell'esercizio e alla sua interpretazione è per questo che sono ricorso al forum per avere chiarimenti; comunque riporto la scrittura esatta dell'esercizo, questa sarebbe la prima parte dove viene definito il primo sotto spazio vettoriale ed è quella che mi ha creato più incertezza.

$ U={p(x)inRR_4[x]:p(-sqrt2)=p(sqrt2)=0} $

Per la proprietà transitiva si ha che:

$p(-sqrt2)=p(sqrt2)=0 hArr { ( p(-sqrt2)=0 ),( p(sqrt2)=0 ):}$

Mentre

$p(-sqrt2)=p(sqrt2) hArr p(-sqrt2)-p(sqrt2)=0$

[tokask]

L'esercizio completo definisce due sottospazi:

$U$ come sopra.
$ W={p(x) in R<= 4 : p(1)=0} $

Si chiede di determinare la dimensione di $ W, U, (W+U,) (WnnU) $.

$W$
$ p(1)=0 rArr a_0+a_1+a_2+a_3+a_4=0rArr a_0=-a_1-a_2-a_3-a_4$

da cui:

$W={p(x)=-a_1-a_2-a_3-a_4 +a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4} $

$Base_W={x-1,x^2-1,x^3-1,x^4-1}$

$dim W=4$

$ (W+U)rArr $

$ [ ( w_1 , w_2 , w_3 , w_4 , u_1 , u_2 , u_3 ),( 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 , 1, 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , -2 , 0 ),( -1 , -1 , -1 , -1 , -2 , 0 , -4 ) ] $ $ rArr [ ( 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , -2 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , -1 , -1 , -3 ) ] $

Metto a sistema i vettori colonna e riduco con Gauss, dal numero dei pivot:

$dim(W+U)=5$

Come determino la $Base_((W+U))$ ??

${x,x^2,x^3,x^3-1,x^4}$

A seguire per Grassman

$ dim(Wnn U)=dim(W)+dim(U)-dim(W+U)rArr 4+3-5=2 $

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