Esercizio algebralineare su spazio vettoriale
Sia V uno spazio vettoriale sui reali e sia R=(a,b,c) un suo riferimento .
1)determinare in R le componenti del vettore d=b-c.
2)provare che il sistema S={b,c,d} è linearmente dipendente .
3) rappresentare in R il sottospazio V' generato dal sistema {a,d}.
4)rappresentare un endomorfismo g che abbia V' come spazio immagine .
Sono nuovo e non so se vada bene del tutto la mia domanda grazie in anticipo per le risposte
1)determinare in R le componenti del vettore d=b-c.
2)provare che il sistema S={b,c,d} è linearmente dipendente .
3) rappresentare in R il sottospazio V' generato dal sistema {a,d}.
4)rappresentare un endomorfismo g che abbia V' come spazio immagine .
Sono nuovo e non so se vada bene del tutto la mia domanda grazie in anticipo per le risposte
Risposte
quando dici 'le componenti del vettore $d=b-c$ intendi $(a,b,d-b)$? perché non mi viene in mente come $d$ possa essere un vettore se $a,b,c$ sono coordinate rispetto alla base canonica.
Anche se comunque sarebbe da chiarire qualche altra cosa. Lo spazio $V$ sarebbe $R^3$? Visto che comunque $vec(v)=(a,b,c)$ è un vettore di $R^3$
Anche se comunque sarebbe da chiarire qualche altra cosa. Lo spazio $V$ sarebbe $R^3$? Visto che comunque $vec(v)=(a,b,c)$ è un vettore di $R^3$
Anto_zoolander ciao e grazie per aver risposto , comunque sono gli stessi problemi che ho io non capisco se la dimensione dello spazio V sia tre ,come mi porta a credere il suo riferimento direi proprio di si ma non ne ho la massima sicurezza , anche perchè ho studiato da una raccolta di esercizi che si consiglia nel forum precisamente clarettacarrara ,ma di esercizi di questo tipo non ne ho proprio visti nel senso che tutti mi forniscono la dimensione e soprattutto dei vettori espressi in componenti . Io avrei pensato che dato il riferimento R=(a,b,c) si possa considerare a=(1,0,0)(a,b,c) ; b=(0,1,0)(a,b,c);c=(0,0,1)(a,b,c). Di conseguenza d=(0,1,0)-(0,0,1)=(0,1,-1). Ammettendo che questo approccio sia giusto risulta semplice verificare che S={b,c,d} risulti dipendente ma poi ho difficoltà grandi col rappresentare V'= e soprattutto rappresentare un endomorfismo g che abbia V' come spazio Im.
Io invece penso che $(a,b,c)in< (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) >$
dove $a,b,c$ sono tre scalari reali,
In quel caso si verifica facilmente che $< (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) > =RR^3$
Di fatto $forall vec(v)inRR^3=> vec(v)=(x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0.1)$
E quindi $forallvec(v)inRR^3=>vec(v)in<...>$
$forall vec(v)in<...> =>vec(v)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)=(a,b,c)$
E quindi $forallvec(v)in<...> => vec(v) inRR^3$
Questo è vero poiché basta prendere $x=a,y=b,z=c$
Posso sempre farlo poiché $a,b,c$ sono scalari reali
Dalla doppia inclusione si conclude che $<...> =RR^3$
Anche perché ${(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ è una base di $RR^3$
Rimane ancora molta ambiguità però sul resto
cioè se $a,b,c$ fossero vettori allora $(a,b,c)$
È un vettore che ha come coordinate altri vettori?
Cioè mi suona un po' male
dove $a,b,c$ sono tre scalari reali,
In quel caso si verifica facilmente che $< (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) > =RR^3$
Di fatto $forall vec(v)inRR^3=> vec(v)=(x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0.1)$
E quindi $forallvec(v)inRR^3=>vec(v)in<...>$
$forall vec(v)in<...> =>vec(v)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)=(a,b,c)$
E quindi $forallvec(v)in<...> => vec(v) inRR^3$
Questo è vero poiché basta prendere $x=a,y=b,z=c$
Posso sempre farlo poiché $a,b,c$ sono scalari reali
Dalla doppia inclusione si conclude che $<...> =RR^3$
Anche perché ${(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ è una base di $RR^3$
Rimane ancora molta ambiguità però sul resto
cioè se $a,b,c$ fossero vettori allora $(a,b,c)$
È un vettore che ha come coordinate altri vettori?
Cioè mi suona un po' male
Ancora grazie per la risposta , mi scuso per la mia scrittura non corretta e per la mia insistenza ma non ho altro modo per affrontare il problema in questi giorni . Comunque considerando la tua impostazione $ d=b-c$ da cosa è formato ? Come lo rappresento il sottospazio ?
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