Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buonasera!
Sia A la matrice di ordine 100 il cui generico elemento è$ a(i,j)=max(i,j)$
Qualcuno mi spiega cosa vuol dire? Sembra che ogni elemento sia uguale al numero di righe se ho più righe che colonne e viceversa se ho più colonne... ma mi sembra sospetto.
Non vi riporto l'esercizio perchè è da svolgersi con matlab.
Grazie
Buonasera!
Ho cercato in tutti i modi di capire come si risolve questo tipo di equazioni ma non riesco! Vi riporto un esercizio svolto:
$(( 1 ,2,1),(1,-1, 1 ))X = ((1,-1),(1,0))$
Riduco per avere un sistema equivalente più facile:
$(( 1,0,1),(0, 1,0 ))X = ((1,-1/3),(0,-1/3))$
da cui il sistema:
${X_1 +X_3 = ((1,-1/3))$
$X_2=((0,-1/3))$
Ecco qui non capisco cos'è $ X_i$ (le colonne della matrice?), nè perchè sommo $X_1 +X_3$.
$X= ((1-x_(31),-1/3-x_(32)),(0,-1/3),(x_(31),x_(32)))$
e nemmeno come si sono ottenute tali soluzioni.
Grazie!!
Ciao a tutti! Ho un piccolo dubbio per quanto riguarda la definizione di base di uno spazio vettoriale :
L'esercizio mi chiede : in $R^3$, considerati i sistemi di vettori
$V_1 = { (0,1,0) , (0,0,1)}$ e $V_2 = {(1,1,0),(0,-2,3),(1,-2,3),(2,-4,6)$ determinare la dimensione ed una base
Ora per quanto riguarda il secondo si nota subito che l'ultimo vettore è combinazione lineare del terzo, dunque lo elimino e ottengo un sistema di vettori indipendente di dimensione 3 e con una generica base $h_1(...) + h_2(...) +h_3(...)$
Ma per ...
Ciao a tutti, sto per la prima volta tentando la famosa analisi 2 ma avendo dato tempo fa analisi 1 diverse cose le ho dimenticate e avrei bisogno di una rinfrescata.
Ho il seguente esercizio: Calcola autovalori $lambda$ della matrice
$ A=( ( 3 , 2 , 0 ),( -1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
Per ogni $lambda$ determina una base dell'autospazio $S(lambda)$ e la sua dimensione $dim[S(lambda)]$.
Trovati gli autovalori ($1$ e $2$ con molteplicità $m(1)=2$ e ...
Salve! Sono alle prese con questo esercizio sui prodotti scalari e relative restrizioni a determinati sottospazi
"Sia V uno spazio vettoriale su un campo K, sia $varphi$ un prodotto scalare su V. Siano $U,W sub V$ sottospazi con $U sub W$
Dimostrare che:
a) $varphi$ ,ristretto a W, non degenere $rArr$ $rnk(varphi)>=dimW$
b) $varphi$ non degenere $rArr$ $dim(Rad(varphi)$ ,ristretto a W, $<= min(dim W, dim V- dim W)$
c) $varphi$, ...
Sia \(\displaystyle \{v_1,...,v_n\} \) un insieme di \(\displaystyle n>=3 \) vettori linearmente indipendenti.
Siano \(\displaystyle v'_1=5v_1-\alpha v_2 -\beta v_3 \) e \(\displaystyle v'_n=\alpha v_1+\beta v_2-2v_n\) con \(\displaystyle \alpha , \beta \in \mathbb{R} \).
I vettori \(\displaystyle \{v'_1,v_2, ... ... ...,v_{n-1}, v'_n\} \) sono linearmente indipendenti?
Risposta multipla:
a) Vero
b) Falso
c) Dipende dai valori di \(\displaystyle \alpha , \beta \)
d) Dipende dagli specifici ...
Salve a tutti. Sto vivendo uno dei soliti momenti di rabbia pre-esame in cui ho dei dubbi e nessuno riesce a togliermeli.
Il caso in questione in realtà penso sia semplice ma le risposte discordanti dei colleghi mi fanno dubitare di molto cose che ho sempre date per scontate, quindi cerco di suddividere il problema in piccoli problemi.
Dato un sistema:
$ { ( ax+by+cz=d ),( ex+fy+gz=h ),( ix+ly+mz=n ):} $
è possibile riscriverlo come una matrice:
$ [ ( a , b , c ),( e , f , g ),( i , l , m ) ] | ( d ),( l ),( n ) | $
(ho provato a scrivere una matrice estesa), ed è possibile ...
Salve,
ho un quesito che non riesco a risolvere:
Sia $V = {(x,y,z) in RR^3 | x+y-z=0, x-y+z=0} $e sia $f: RR^3 \rightarrow RR^3$ l'applicazione lineare avente come nucleo il sottospazio $V$ e tale che $\lambda = 2$ è autovalore con autospazio generato dai vettori $(1,1,1)$ e $(1,1,2)$.
Scegliere una base $\beta$ per $RR^3$ formata da autovettori di $f$ e scrivere la matrice associata ad $f$ rispetto alla base $\beta$.
Sinceramente non ...
salve vi propongo il seguente esercizio a forma di quesito
sia V=R^(3) spazio vettoriale allora
-{(x,y,z)|yz=0} è un sottospazio vettoriale di V di dimensione 1
-{(x,y,z)|x^2+y^2} è un sottospazio vettoriale di V di dimensione 1
-{(x,y,z)|y+z=1} è un sottospazio vettoriale di V di dimensione 2
allora per quanto riguarda la verifica che siano sottospazi vettoriali di V ho subito escluso il terzo punto in quanto lo zero non fa parte dell'insieme mentre per quanto riguarda i primi due sono ...
Salve,
Vorrei una conferma riguardo l'esattezza di un esercizio.
L'esercizio fornisce tre piani, e chiede di calcolare eventuali punti in comune:
$\{(x+ 3y = 0),(3x -3y - 2z = 0),(4x -2z = 0):}$
La matrice associata al sistema in questione presenta rango 2, e il kernel è il seguente:
$(-3,1,-6)$
La soluzione riportata nel libro afferma che i tre piani (le tre equazioni del sistema lineare) hanno in comune l'asse delle z.
Partendo dal fatto che il kernel rappresenta lo spazio delle soluzioni del sistema, affermerei che ...
Data la seguente matrice A= $((1,0,k),(0,k,0),(k,0,1))$
Per quali k esiste B tale che B A B^t = I
I = matrice identica
B^t = trasposta di B
salve a tutti vi propongo un quesito
siano v e w due vettori non nulli; se la proiezione ortogonale di v su w è il vettore nullo allora l'insieme (v,w) è linearmente indipendente grazie
Un risultato essenziale in teoria dell'omotopia elementare è questa caratterizzazione della nullomotopia: è un esercizio piuttosto istruttivo.
Sia $f : X \to Y$ una mappa continua. Le seguenti condizioni sono equivalenti:
[*:2q2wtd1w] $f$ è omotopa a una mappa costante[/*:m:2q2wtd1w]
[*:2q2wtd1w] Esiste un diagramma
\[
\begin{CD}
X @>h>> \bar X \\
@VfVV @VVgV\\
Y @= Y
\end{CD}
\]
che commuta a meno di una omotopia \(H : f \simeq gh\), dove $\bar X$ è uno spazio ...
Buon giorno a tutti.
Ho letto che la rotazione di un tensore cartesiano del secondo ordine $T_{ij}$ da come risultato un tensore $T_{ij}^I$= $R_{ia}$$R_{jb}$ $T_{ab}$.
Da quel poco che ho capito, $R_{ia}$, $R_{jb}$ sono due matrici 3*3, non mi è chiaro se anche $T_{ij}$ sia una matrice 3*3 e se in pratica $T_{ij}^I$ sia dunque il prodotto di tre matrici.
Un esempio di tensore del secondo ordine viene costruito ...
Salve a tutti,
vorrei dei chiarimenti circa l'immagine di una matrice definita mediante base canonica.
Sono sostanzialmente due punti che non mi sono chiari;
1) Sul libro che uso c'è scritto che l'immagine è l'insieme dei vettori colonna linearmente indipendenti della matrice, ma su alcuni eserciziari vedo che come immagine mette tutti i vettori colonna anche se sono linearmente dipendenti;
2) altra cosa che ho notato è che su alcuni testi o appunti online non si fa distinzione tra il ridurre ...
Buongiorno, avrei bisogno con 3 esercizi di geometria proiettiva.
Nel primo esercizio ho provato ad usare la "formula" per il fascio di coniche bitangente, ma non viene, le 2 tangenti sono: $t_1: y=(4-x)/sqrt(3)$ e $t_2: y=(x-4)/sqrt(3)$, con la retta p passante per i 2 punti di tangenza $p: x=1$.
Il terzo medesimo al primo, ma sempre senza risultati positivi.
Il secondo ho usato la "formula" del fascio di coniche passante per 3 punti, e tangente a uno di essi. Le 2 tangenti sono ...
Salve,
di recente mi sono reso conto che diverse fonti danno definizioni diverse della matrice di cambiamento di base. La definizione di matrice di cambiamento di base (o coordinate) a cui sono abituato è la seguente:
Date due basi $E, F$ dello stesso spazio vettoriale, la matrice di cambiamento dalla base $E$ alla base $F$ è la matrice (unica) che, moltiplicata per il vettore colonna delle componenti di un vettore rispetto alla base di partenza ...
Siano date in $V = RR^3$ la base canonica $E = {e_1 , e_2 , e_3}$ e la base $B = {b_1 = e_1 + e_2 , b_2 = e_2 + e_3 , b_3 = e_1}$. Siano inoltre dati:
- il funzionale $f : V → RR$ che nelle basi B di V e 1 di $RR$ si rappresenta tramite la matrice $A=(1, −1, 0)$;
- l’operatore F : V → V che nella base B (in partenza e in arrivo) si rappresenta tramite la matrice $ M=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $
Determinare:
1. la matrice rappresentativa di f nelle basi E di V e 1 di $RR$;
2. la matrice ...
Buonasera. C'è una tipologia di esercizi di algebra che ancora non comprendo bene: discutere esistenza e unicità di applicazioni lineari.
Da quanto ho capito, in primo luogo considero le preimmagini. Se esse formano una base del dominio, allora esistenza e unicità sono garantite, quindi mi basta controllare l'indipendenza lineare. Altrimenti, devo considerare le immagini: se trovo dei vettori linearmente dipendenti devo verificare che essi sono dati dalle immagini dei vettori linearmente ...
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