Prodotti scalari e dimostrazione di disuguaglianze

[nick_10]

Salve! Sono alle prese con questo esercizio sui prodotti scalari e relative restrizioni a determinati sottospazi
"Sia V uno spazio vettoriale su un campo K, sia $varphi$ un prodotto scalare su V. Siano $U,W sub V$ sottospazi con $U sub W$
Dimostrare che:
a) $varphi$ ,ristretto a W, non degenere $rArr$ $rnk(varphi)>=dimW$
b) $varphi$ non degenere $rArr$ $dim(Rad(varphi)$ ,ristretto a W, $<= min(dim W, dim V- dim W)$
c) $varphi$, ristretto a W, non degenere $rArr$ $dim W>=dim U+dim(Rad(varphi)$ ristretto a U
d) $varphi$ non degenere, $W$ uguale somma diretta tra $U$ e $Rad(varphi)$ ristretto a W $rArr$ $AA v!=0 in Rad(varphi)$, ristretto a W, si ha che $ U^(bot)$ non è contenuto in $v^(bot)$
Scusate per i simboli ma non sapevo come indicare le restrizioni dei prodotti scalari; con Rad ho indicato il radicale.

Fatto il primo punto non saprei come dimostrare le altre disuguaglianze

[Shocker1]

Ciao,


se $\varphi$ è non degenere cosa puoi dire di [tex]dimW^{\perp}[/tex]? Riesci a caratterizzare $Rad(\varphi $[tex]\mid_{W})[/tex]?

[nick_10]

Beh se è non degenere la dimensione dell 'ortogonale dovrebbe risultare $dim W^(bot)=dim V-dim W$. Poi se è non degenere la dimensione del radicale è uguale a zero dunque $dim V= rnk(\varphi)$ Potrebbe bastare?

[Shocker1]

"nick_10":Beh se è non degenere la dimensione dell 'ortogonale dovrebbe risultare $dim W^(bot)=dim V-dim W$. Poi se è non degenere la dimensione del radicale è uguale a zero dunque $dim V= rnk(\varphi)$ Potrebbe bastare?

No, non basta. Chi è $Rad(\varphi $[tex]\mid_{W})[/tex]? Scrivi la definizione e ragionaci un po' su.

[nick_10]

Il radicale con un po di definizioni dovrebbe essere: ${w in W | varphi(u,w) AAu in W}$ quindi dovrebbe essere $WnnW^bot$
Sbaglio?

[Shocker1]

Corretto! Ora metti insieme i pezzi!
$W nn W^{\bot} \subset W, W^{\bot}$, quindi...

[nick_10]

Quindi con i due contenimenti seguono le disuguaglianze. La prima è evidente, la seconda anche dato che $dim V- dim W= dim W^(bot)$

[Shocker1]

Perfetto!
Passiamo al terzo, come lo faresti?

[nick_10]

A questo punto direi come da punto precedente che il radicale di phi ristretto a U è $U nn U^(bot)$.
Magari ora la dimensione dell'intersezione la estendo con la formula di Grassman?

[Shocker1]

Ciao,


scusa il ritardo ma avevo un esame... abbiamo fatto progressi applicando grassman?

[nick_10]

Grazie per l'interesse! Comunque il terzo punto poi l'ho risolto.
Son bloccato al quarto...

[Shocker1]

"nick_10":Grazie per l'interesse! Comunque il terzo punto poi l'ho risolto.
Son bloccato al quarto...

Ok!
Devi dimostrare che $U^{\bot}$ non è contenuto in $v^{\bot}$, se così non fosse avresti che $\forall z \in U^{\bot} \subset v^{\bot}$ vale $\phi(z, v) = 0$ ma allora $v$ è ortogonale all'ortogonale di $U^{\bot}$ quindi... cosa accade?

[nick_10]

Che v apparterrebbe a U, ma questo è impossibile per la somma diretta?

[Shocker1]

"nick_10":Che v apparterrebbe a U, ma questo è impossibile per la somma diretta?

Esatto ma va spiegato meglio! Da $\phi(z, v) = 0 \forall z \in U^{bot}$ si deduce che $v \in U^{\bot^{\bot}}$ ma $\phi$ è non degenere quindi $U^{\bot^{\bot}} = U$ da cui l'assurdo.

Ciao

[nick_10]

Sisi certo. Grazie mille!